玩转初中几何八大必考模型（初中几何常见模型41）

1、内心

（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（2）三角形的内心的性质

①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r  

③S=r（a b c）/2（r为内切圆半径）

④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a b-c)/2．

⑤∠BOC = 90° ∠A/2∠BOA=90° ∠C/2 ∠AOC=90° ∠B/2  

2、外心

（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（2）三角形的外心的性质

①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.  

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

④OA=OB=OC=R  

⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA  

⑥S△ABC=abc/4R

解析：连OI,PI,DI,由△OPH的内心为I,可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-1/2(∠HOP ∠OPH)=135°,并且易证△OPI全等△ODI,得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O',如图，连O'D,O'O,在优弧AO取点P',连P'D,P'O,可得∠DP'0=180°一135°=45°，得∠D0'0=90°，0'0=3√2.

点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键。

本题：考查了三角形的内心、外心、旋转的性质、比例线段等，应用的知识点较多，首先要明确内心是角平分线的交点，三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等；外心是三边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心，反之，到三角形三个顶点距离相等的点就是三角形的外心，做好本题要熟练掌握与圆有关的性质和定理。