高二数学空间向量与立体几何难题（立体几何中存在性与探索性问题的向量处理）

立体几何中存在性与探索性问题是个难点，如果用向量的方法来处理则往往可使问题化难为易，加之用向量解答此类问题的方法固定，操作简单，能避开复杂的转化与逻辑推理，因此更具可行性．

例1 在底面是菱形的四棱锥

中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

a，点E在PD上，且PE∶ED＝2：1，在棱上是否存在一点Ｆ，使

∥平面？证明你的结论．

解：以Ａ为坐标原点，直线

分别为y轴、z轴，过点A垂直平面yOz的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图１）．

由题设条件，相关各点与向量的坐标分别为

，

．

设点Ｆ是棱上的点，

（其中0＜

＜1），

则

．

令

，得

即当

时，

，亦即F是PC的中点时，

共面．又

平面，所以当是棱的中点时，∥平面．

注：利用共面向量有关定理建立方程是动点存在性问题得以解决的关键．本题还可以求出平面的法向量n，通过

⊥n求BF∥平面AEC（将线面平行转化为直线与平面的法向量垂直）时，F所在的位置，这种以“以求代证”的方法是需要掌握的．

例2 在单位正方体

中，点Ｅ是棱

的中点，棱

上是否存在一点，使得

⊥平面

．如存在，请确定点Ｆ的位置；如不存在，请说明理由．

解：以Ａ为坐标原点，

分别为

轴的正方向建立空间直角坐标系，设在棱上存在且

，则

．

．

又

平面

．

故有

，故当F为棱CD的中点时，⊥平面．

注：利用空间向量数量积的有关性质是确定空间平行、垂直关系的一种有效方式．这种将几何问题代数化的方法真正体现了空间向量的作用．

从以上的例题可以看到，利用空间向量研究立体几何中的探索性（或存在性）问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式处理空间平行、垂直等位置关系问题，还可避开传统的“作———证———算”中的难点，具有较强的可操作性．

例3 如图2，已知平行六面体的底面

是菱形，

且

．

（1）证明

；

（2）若

，求二面角

的平面角的余弦值；

（3）当

的值等于多少时，能使

⊥面？

解：（1）略；（2）略；

（3）不妨设

⊥平面，，

则

，

而

，

由

，

得

，

注意到

，可得方程

，解得

或

（舍）．

因此，当

时能使⊥平面．

注：本题蕴涵转化思想，通过空间向量将空间中的垂直关系利用数量积转化到二次方程

的正数根问题，特别是设

（特殊值）的技巧值得学习！

▍ 来源：综合网络

▍ 编辑：Wordwuli

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