三角形的神秘力量（拨动天空琴弦的三角学）

[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水(Java程序员。善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来)

阅读该文章时要结合注释来看。为了叙述的完整感，很多拓展内容在注释上。

半弦表

天文学的发展对精确的制图提出了要求，人类对角的认识也从定性开始走向定量。

研究角度和长度之间的关系，其实就是在研究函数，所以用的办法也和之前谈过的乘法、对数是一样的：直接编一个表。

最早的时候托勒密用的就是弦长，不过后来这个表被印度数学家改良了，从“弦长表”改良成了“半弦表”，因为如果要用这个表解任意三角形的话，“半弦”明显比“弦”好用很多，就是在这张表中角的“半弦”也被叫做“正弦”，其余角的“半弦”就叫做“余弦”。[1]

后来，印度人的半弦表经阿拉伯人之手又传回了欧洲[2]，被翻译为希腊文 "sinus(sin)"，意为“海湾”，所以在东方人的意识中正弦是“弓弦”，而在西方人的意识中则是“海湾”， "co" 在拉丁语里有“联合”的意思，所以 "co-sinus(cos)" 就是“余弦”。

▲ 虹湾(Sinus Iridum)是月球上西北侧的一处撞击坑

日晷和测量金字塔的高度，都是利用了直角三角形的直角边，最初直角边之间的关系就是用拉丁文“阴影”命名的，随着数学的继续发展，概念也从具象走向抽象，15世纪之后开始用 tangere(tan) 来描述了，这个词在拉丁文中是“接触”的意思，而中国人把 "tan" 翻译为“正切”。这是显然是从线与圆的关系上来看的，"tan" 所在的直线和圆正好相切。

从具象到抽象

奥地利雷蒂库斯(G. J. Rheticus,1514—1574)，一改过去用弧与弦来讨论，使用直角三角形斜边与对边的比来定义角函数[6]，编制了每隔 10" 的角函数表。计算机普及之前，角函数表一直都是数学家手中必不可少的重要工具。

▲ 国内曾出版的精度为8位三角函数值表

不过这种定义方法有缺陷：定义在直角三角形上，钝角的情况就不存在了，另外从这个角度上理解，我们似乎很难对它的含义作进一步的探究。[3]

随着解析几何的发展，人们发现如果在单位圆上定义，那么角函数可以用圆和三角形的线段，或者坐标之比来表示。[5]

钝角三角形的问题也就迎刃而解了，因为可以把高作在负轴上；这种定义方法也使角从静态走向动态，负角就出现了，从坐标系上来看顺时针转动是角度减少，反之，逆时针则是角度增加。[4]

把这样得到的 x 和 y 记录下来，可以画出图像；从动态旋转的角度来看，角度是可以突破 360°的，无需限制函数的定义域，所以优角就出现了。由于角度本身是有周期的，所以函数图像也是有周期的。

这么一放，就会观察到 sin 和 cos 其实就是“二维世界的点，在一维世界上的投影”。这就很容易理解 sin 和 cos 的图像形状是“尖尖”的，因为他们相当于“把圆看扁了”；生活经验也会告诉我们，从投影的角度看圆周运动就是忽快忽慢的。

从几何意义上可看出：

● sin 和 cos 的值域是 [-1,1]，而 tan 的是整个实数集 。因为 tan 是斜率，所以垂直时不存在，定义域为

● 另外，能够一眼就看出函数值的符号：因为 sin 其实就是 y，所以在角坐标上半边时结果是正的；cos 就是 x，所以在右半边是正的；tan是 sinα/cosα， 所以“同增异减”，在第一和第三象限是正的。

角函数的应用

角函数还可以看做“解旋”[7]的过程：把旋转拆分为平移。

所以，会在物理的运动分析上见到它，因为它可以把复杂的曲线运动分解为简单的直线运动；你也会在受力分析上见到他，可以把平面上的任何力都分解成垂直于平行的两个力之和(也叫“向量的平行四边形法则”)。

还可以意识到，描述平面上任意一点，直角坐标和角度 长度其实是等价的，这两种形式的桥梁就是角函数。

在描述旋转(曲线)的时候，直接用旋转的量角度(弧度)，比用平移的量(直角坐标)要简洁方便的多，所以我们就多了一种描述曲线的方法，现在可以哪种方便用哪种，所以在雷达屏幕上你可以见到“极坐标”。

再举两个例子，用极坐标方程 y=1表示圆，而用 y=e^(aθ) 表示螺线：

当然向量和复数也都可以用这两种坐标来表示，他们的两种表示形式都可以用角函数进行变换。

三角形与圆

你会发现，大量的概念都和直角三角形扯上了关系，直角三角形为啥总是出现？

如果从转动的角度来说直角三角形其实是简洁的，而任意三角形是复杂的。

➣ 为什么这样讲呢？

重新来看角和圆的定义(上一篇中谈过)，如果转动的时线段长度是可变的，那么最后形成的东西就是“任意三角形”了，对应乱乱的轨迹和无序；反之，产生的东西就是“等腰三角形”，对应的是优美的圆弧与有序。

为了计算的方便，我们把“等腰三角形”一份两半，形成“直角三角形”，同时也把圆弧和全弦一分两半，形成“半弦”(正弦)。

直角三角形本来就是圆的一部分(都是有序转动产生的)，只要一旦把角放到直角三角形，就可以化无序为有序，就意味着一下子多了非常多的已知条件，依靠直角三角形往往能让问题的解答简洁优美，有助于问题的解决。

把三角形的任意角，放到直角三角形中是非常简单的，只要作顶点到底边的垂线即可。

从这个角度上来讲：“作高”的过程，其实就是在“作弦”，时光倒流，把原本乱乱的运动变成简洁的运动。所以直角三角形总是这么频繁的出现。

总结

1. 角函数的发展也是从具象到抽象的过程：
2. 定性 → 弦长表 → 半弦表 → 定义在直角三角形上(角函数表) → 定义在直角坐标系上
3. 角函数是旋转和平移之间的桥梁。sin 和 cos 的作用是解旋，tan是斜率。
4. 直角三角形是在旋转中充当了有序和无序之间的桥梁。

注释

[1] 弦长表是希腊天文学家 Hipparchus 首创的，其作品已失传，事迹记录于托勒密的《天文学大成》一书。如果不知道“正弦”先后有两个意思，就难以理解“正弦”与“圆”的关系。“遇见数学”翻译过一篇文章，作者说“正弦”和“圆”的关系是巧合，也许作者对这段数学史没有了解。

[2] 阿拉伯是东西方的信使，托勒密的弦长表是 60进制的，因为那时只有60进制才能表示小数。印度人的发明的10进制也是阿拉伯人传到西方的，所以也叫做“阿拉伯数字”，其实阿拉伯人只是个翻译。

[3] 用斜边和对边之比定义角函数的源头就在于此。从名称上来看并不利于记忆，和“弦”、“割”及“切”的具象定义无关；其次，从定量上看不及单位圆和坐标系。可以用联想法辅助记忆。

[4] 在几何作图中我们往往默认长度是正数，也就是“单向数轴”。如果接受“长度也可以是负数”，也就是“数轴”的概念，那么就钝角的问题就解决了，角度也可以为负。

另外，在寻找复数的过程中，最关键的就从几何上解释 √-1，笛卡尔作为坐标系发明人，也没有意识到“数平面”的概念，结果寻找复数的努力失败了。

但是有一个人却极其接近成功，因为他发现如果 √-1 是存在的，那么做出来的线段应该是在“上方”，这就暗示了“数平面”的存在。可惜这个概念实在是太过抽象，复数的发现最终与他擦肩而过，这个荣誉最后被高斯获得，“数平面”也被命名为“高斯平面”。

[5] 定义在直角坐标系和单位圆上的角函数，曾出现过 12 种，目前最常用的有 6 种，剩下的 3 种没有介绍是因为与sin/cos/tan互为倒数，他们分别是 ：csc余割，sec正割，ctg余切。除非计算中经常使用，就不用符号表示，直接使用倒数表示。我找到了一张图，也许包含了12种吧，不常用的那些我没有仔细看，似乎有一些的名称统一性还挺差。

[6] 叫做“角函数”而不叫做“三角函数”是为了响应克莱因的建议。

在开始之前，我要说明用角函数这个名称似乎比习惯上用的三角函数要好，因为三角学只是这些函数的一个特殊应用。它们本身与指数函数相类似，但其中的反函数又类似对数函数。我们称这些反函数为测圆函数。 —— 《高观点下的初等数学》

[7] “解旋”一词借鉴于生物学中的“DNA解旋”，我认为这个词用来解释 sin 的意义是简洁而恰当的。

参考资料

[1] https://oikofuge.com/names-trigonometric-functions/ (图2、注释图1)[2]《数学符号史》[3]《数学史》[4]《数学史通论》[5]Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002 ISBN 0-691-09541-8. (注释图2)[6]《三角函数超入门》(注释图3)[7]《虚数的故事》(注释图4)[8] https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif (图6)[9] http://www.sohu.com/a/280452745_372482 (图7)[10]《图解数学学习法》

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