10道中考真题 分享一道中考题

女儿现在初一，我先提前积累点几何知识，后面辅导起来会轻松一点。

(湖南省郴州市2021年中考数学试卷第25题）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°。点E、F分别为AB、AC的中点，H为线段EF上一动点(不与点E、F重合)，将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB.

(1）证明:△AHB≌△AGC;

(2）如图2,连接GF、HG，HG交AF于点Q.

①证明:在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°;

②若AB=AC=4，当EH的长度为多少时，三角形△AQG为等腰三角形?

【解析】

（1）这是一道入门级的手拉手模型题，通过SAS证得两三角形全等。其中角的相等可以通过等量代换得到。即∠BAH ∠HAF=90°，∠CAH ∠HAF=90°，∴∠BAH=∠CAG

（2）①题中要证的∠HFG=∠AFH ∠AFG，其中∠AFH=45°已知，只需要证明另一个角也等于45°。图形中等于45°的角还有另外3个。显然通过证明是△AEH≌△AFG可以得到∠AFG=∠AEH=45°。

②△AOG为等腰的三种可能情况都要考虑到。要找到目的线段和已知线段之间的数量关系。

i：AG=AQ，显然此时是△AQG为等腰直角三角形，且∠GAQ=90°，该情况不存在

ii：AQ=GQ，此时有AQ⊥GQ，此时EH=根号2（还没摸索出如何输入带根号的数字和分数[微笑]）

iii：AQ=GQ，通过证是△AQG～△AHE，从而△AHE也是等腰三角形，此时EH=AE=2