韦达定理总结（韦达定理发现者）

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韦达定理

“在韦达之前，方程中的系数是具体的数值，他首次系统地引入一般的符号代数，这是代数学中的重大进步。”

——《数学珍宝——历史文献精选》



（Franciscus Vieta，1540~1603年）

大家耳熟能详的韦达定理指出了多项式方程的根与它的系数之间的关系。这组简单又拥有高度对称性的等式在多项式方程求解的历程中扮演着核心的角色。

韦达定理绝对不是韦达唯一的成就，甚至不是他最值得骄傲的成就。韦达对代数学与三角学的运用之炉火纯青，使得后世的一些数学家将韦达——而不是主流观点所认为的丢番图或花拉子米——评价为“代数学之父”。其实这样的观点也并非毫无道理的，因为正是以韦达的《分析引论》一书为起点，数学家们开始系统地使用字母来表示未知数。

韦达在1540年的法国普瓦图出生的时候，他的父亲正在当地担任检察官一职。或许是受到了父亲的影响，韦达在1558年进入普瓦捷大学学习法律。他在一年后获得法学学位。毕业以后，韦达成为了一名律师。

韦达的本职并不是数学家，而是律师，这其实不算是一件令人感到相当意外的事。对于韦达来说，研究数学问题只是业余活动的一种。在那个时代，似乎有不少人喜欢以研究科学作为日常的消遣。在韦达之后的同样本职为律师的费马，更享有“业余数学家之王”的美誉。布拉格的工程学家派特里·贝克曼在《π的历史》一书中感叹道：“文艺复兴是业余数学家们的黄金时代。”其实，勤学的精神在现代也非常重要。优秀的人总是不拘泥于某个学科。他们对世界充满好奇，博览群书，能融文理，通古今，广才学。只有把思想之船造得更大更坚实才不容易被时代的巨浪冲走。

由于在工作中经常与法国王室接触，韦达与王室的关系很好。这样良好的人际关系在后来救了韦达一命。韦达一家都是胡格诺派——基督教的一个分支教派的信徒。1562年，法国第一次宗教战争爆发，韦达辞去了律师的职务，成为了一位胡格诺派贵族的女儿的家庭教师。1572年，法国国王下令屠杀胡格诺派的教徒，这就是史称“圣巴托罗缪之夜”的事件。此时，作为胡格诺派教徒之一的韦达却得到国王的保护，并在一年后被国王任命为布列塔尼议会的议员。

从1583年开始，韦达因为宗教原因遭到了流放。《分析引论》这本著作就是韦达在被流放的四年里写的。在这本书里，韦达广泛采用字母的表示法，不仅用字母来表示未知数，连方程中的参数也以字母而不是具体的数字来表示。这样做的好处是显而易见的，那就是我们可以把形式相同的所有方程统一起来进行研究。另外，在这本书里，韦达还提出了代数方程的根与系数之间的关系，即韦达定理。这个看起来很简单的等式组其实有非常重要的意义，它是后来的伽罗瓦理论的基础之一。

1589年，亨利三世遭到刺杀，随后纳瓦拉·亨利即位成为亨利四世。与之前的其他国王不同，亨利四世支持胡格诺派。这对于韦达来说是一个好消息，但天主教会可不能眼睁睁地看着敌方教派的支持者登上王位。他们与西班牙国王密谋夺取王位。西班牙国王通过信件与法国宫廷的内应联系，而这些信件中的内容一律通过复杂的密码加密。不久，这当中的一封信被截获了。不出所料，亨利四世无法理解信件的内容，但他意识到这些经过加密的内容很有可能隐藏着什么阴谋。

这时亨利四世请来了韦达。韦达很快就破译了这封信，并得到其加密算法。这就意味着亨利四世可以读懂西班牙国王与内应之间的所有信件。在阴谋被识破以后，西班牙国王指责韦达“使用了魔法”。

韦达因为这次的事件而获得了亨利四世的赏识。亨利四世为韦达的数学研究给予了大量的支持，还给韦达安排了更多的破译密文的工作。

1593年，法兰德斯数学家阿德里安·范·罗门写了一本名为《数学思潮》的书这本书里有一部分是当时的一些优秀的数学家的介绍。一件比较尴尬的事是，居然没有任何一位法国数学家出现在这本书当中。一本书当然不可能罗列出当时所有的数学家，有遗漏是再正常不过的事了，但一位荷兰大使在1594年出使法国的时候却拿这本书说事，称法国的数学很落后。他还从书里面选了一个难题出来挑战法国的数学家，声称在法国没有一位数学家可以解决这个问题。这位荷兰大使选出来的问题要求求出这个方程的一个根，其中c是一个看起来有点复杂的常数。

亨利四世对这个荷兰大使的轻蔑的态度感到不悦，于是找来了韦达迎战。韦达当场就得到了一个解。第二天，他又再给出了这个方程的另外22个解。韦达用实力将荷兰大使反驳得哑口无言。

韦达在后来的论文中提到了他对这个问题的解法。他首先假设c是2sin45θ，x是2sinθ，这样就把解代数方程的问题转化成求解角度θ的问题。然后，他又利用三角函数的恒等变换将这个方程分解成多个三次方程和五次方程的问题。虽然方程的数量增多了，但方程的次数降低了。将一个很难求解大大问题分解为一些容易求解的小问题，这是数学中很常用的手段。韦达就是这样用三角学的方法求出了这个45次方程的23个根。这真是非常巧妙的手法！但是，了解代数学基本定理的读者应该知道，一个45次方程应该有45个根。那为什么韦达只找出了其中的23个根呢？这是因为在韦达所处的时代，三角函数的定义依然是某些长度的比，不可能是负数，因此剩下的22个负根被韦达排除掉了。

上述的故事表明，除了代数学，韦达对三角学同样有非常深刻独到的研究。他将自己对三角函数以及各种三角形性质的研究写在了《应用于三角形的数学法则》这本书当中。他在这个著作里给出了大量重要的三角恒等式，并对过去的三角函数的内容进行了系统的整理。

韦达的工作实际上开启了代数学的一个新篇章，使得代数学真正从一门研究实数运算的科学变为符号分析的科学。后来，笛卡尔改良了韦达创造的符号系统，得到了我们现今所常用的数学符号。

众所周知，法国数学家勒内·笛卡尔在17世纪提出了解析几何，其中最核心的思想便是用代数方法研究几何问题。其实在笛卡尔之前，韦达已经提出过用代数方法解决几何问题的想法了。