向量四个重要公式（平面向量基本定理）

王琦（北京市第五中学）

教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第三节的第一课时（2.3.1）“平面向量基本定理”．平面向量基本定理属于概念性知识．

平面向量基本定理是在向量知识体系中占有核心地位的定理．一方面，平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与其坐标建立起了一一对应的关系，这为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁；另一方面，平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推广，揭示了平面向量的结构特征，将来还可以推广为空间向量基本定理．因此，平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作用．

笔者认为该定理之所以用“基本”命名，主要是基于以下几个特点。

（1）给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量；

（2）通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量；

（3）平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；

（4）选定基底后，平面内的任意向量与有序实数对一一对应，为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁，实现了形与数的统一．

《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求是了解平面向量基本定理及其意义，笔者认为这是因为平面向量基本定理的理论性非常强，而对定理的应用又主要体现在向量线性运算的几何意义以及坐标运算上，直接应用极少．

但是，对平面向量基本定理的探究既是对前面所学向量线性运算知识的综合应用和对平行向量基本定理的推广，又为后继的平面向量坐标表示奠定了理论基础，充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，探究过程有助于学生体会数学思维的方式和方法，有利于培养学生进行数学思考和数学表述的能力．

平面向量基本定理的验证过程是向量的分解，是两向量进行线性运算的逆过程，是对学生逆向思维的训练．在平面向量基本定理的证明过程中，需要用到平行向量基本定理，同时，平行向量基本定理也是平面向量基本定理在一维时的特殊情形．这里体现了特殊与一般的辨证观点．

平面向量基本定理将平面内任意向量的问题转化为一组基底的问题，从而使问题简单化和程序化，体现了化归与转化的数学思想．平面向量基本定理将平面向量与有序实数对建立一一对应，搭起了数与形的桥梁，是利用向量进行数形转化的理论基础．

因此，笔者认为本节课的教学重点是对平面向量基本定理的探究和理解．

教学目标设置

1.课程目标

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的重要工具，有着极其丰富的实际背景．因此，平面向量的课程目标如下。

（1）了解向量丰富的实际背景；

（2）理解平面向量及其运算的意义；

（3）能用向量语言及方法表述和解决数学及物理中的一些问题，提高学生运算和解决实际问题的能力．

2.单元目标

（1）通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

（2）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

（3）通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

（4）了解向量的线性运算性质及其几何意义；

（5）了解平面向量的基本定理及其意义；

（6）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

（7）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

（8）理解用坐标表示的平面向量共线的条件；

（9）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

（10）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

（11）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

（12）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

（13）经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何和物理等问题的工具，提高学生运算和解决实际问题的能力．

3.课堂教学目标

（1）理解平面向量基本定理中关键词的含义；

（2）经历平面向量基本定理的形成过程，体会从提出问题，到观察猜想，再到验证推理，然后概括总结，进而完善发展的数学研究过程；

（3）通过与平行向量基本定理的比较，提高对知识体系的整体认识；

（4）体会平面向量基本定理的价值．

学生学情分析

在前两节中，学生已经学习了向量的基本概念、线性运算以及平行向量基本定理等知识。学生在物理课上也学习过矢量的合成与分解．这都为本节课的学习作了一定的铺垫．但向量的分解是对向量线性运算法则的逆用，这对学生的思维具有一定挑战。此外，对定理中任意性和唯一性的理解和验证也是学生学习的一个难点．这些都需要教师引导突破．

笔者所任教的班级学生各学科的基础都比较扎实，但思维的灵活性和深刻性仍有待提高，对于思维力度较大的问题仍需教师引导探究，学生对问题严谨且完整的表述能力仍需培养．

因此，本节课的教学难点在于平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性．

教学策略分析

为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，笔者采用引导启发的教学方式，通过复习引入、逆向设问、直观感知、实验操作、定理雏形、完善定理、定理辨析等环节，循序渐进地将问题逐步引向深入，引导学生完成本节课的目标，体会学习数学的方法．

为了突破难点，笔者采取了以下措施。

（1）针对存在性的难点，也就是分解向量的难点，通过学生黑板演示交流，对几种典型的情况分别作图并完成线性表示；通过教师追问和点评，抓住向量加法法则中三个向量的位置关系，提炼一般做法．

（2）对于定理中“任意性”的验证，笔者引导学生分三步进行。首先，将平面内的任意向量简化为起点在某定点(与基底共起点)的任意向量；然后，使向量方向不变，只改变大小，从数与形两个角度发现，只要在该方向上有一个向量能够用给定向量的线性运算表示，那么与之同向的向量就都可以用给定向量的线性运算来表示；最后，就只需改变向量的方向，也就是让向量绕其起点旋转起来，分析其旋转一周过程中的不同情况即可．在验证“任意性”的过程中，笔者在学生板演分析之余，采用多媒体辅助教学，借助几何画板软件的动态演示，让学生更加直观地理解定理中的“任意”．

（3）对定理中“唯一性”的讨论笔者引导学生从定性的存在到定量的几组将定理精细化，并从形的角度(贴近学生思维)和数的角度分别对唯一性进行证明，使学生进一步体会向量是集数形于一身的数学概念．

本节课在猜想的形成，以及对定理中的存在性、任意性、唯一性的验证和证明过程中，问题思维力度大，师生互动多．因此，笔者在设计本节课时，根据学情对每一个活动做好了充分的预案，针对学生的不同反馈，灵活地进行引导启发；对每一个问题的提出，注意了设问的梯度和问题的明确性，针对解决过程设计好提示和追问，使具有不同认知基础的学生都能得到相应的收获．

与此同时，由于定理的形成和理解难度较大，在授课过程中，笔者对学生表现出的积极因素给予适时适度的鼓励，当学生遇到知识漏洞和思维障碍时，本着循循善诱的原则进行帮助．

【设计意图】

（1）说明当给定的两个不全为零的向量共线的时候，只能表示与他们共线的向量，从而形成定理中的“不共线”；

（2）说明当给定的两个向量不共线时，只能表示与他们共面的向量，从而形成定理中的“这一平面内”；

（3）区别“无数个”与“任意一个”，从而猜想定理中的“任意”．

预案：学生认为两个给定的向量可以表示无数个向量而非任意一个，此时可以引导学生思考哪些向量无法表示；

学生容易忽略“平面内”的限定，认为两个给定的向量可以表示任意一个向量，这与此前学生数学学习中对三维空间研究较少有关，其难以突破二维空间的思维局限，此时，教师可以给出反例，让学生体会。

学生容易忽略共线的特殊情况，认为同一平面内两个给定向量可以表示该平面内任意一个向量，此时可以追问学生“无论这两个向量如何给定，都可以表示平面内任意一个向量吗？”；

由问题1的讨论，有些学生容易想到当一个向量是零向量时，无法表示平面内任意向量，有些学生会想到当两给定向量共线时，无法表示平面内任意向量，教师需要引导学生认识到“不共线”的限定就排除了含零向量的可能．

活动1：让学生表述猜想：通过同一平面内两个不共线向量的线性运算可以表示这一平面内任意一个向量．

【设计意图】

【设计意图】

（1）从定性研究到定量研究，使学生体会科学研究的一般思路；

（2）对唯一性的论证，一方面从形的角度用作图方法说明，贴近学生思维，培养论证表达能力，另一方面从数的角度用同一法及反证法证明，培养逻辑思维能力，同时使学生进一步体会向量是集数形于一身的数学概念；

理解当基底选定后，平面内的任意向量与有序实数对(λ1，λ2)一一对应，为后面向量的坐标表示做铺垫．

预案：

（1）大部分学生会利用作图过程进行分析，但容易想当然，缺乏从定义、公理、定理出发进行严谨逻辑推理的意识，这就需要教师抓住契机进行培养；

（2）高一年级的学生还没有学习反证法，同一法在课标当中也没有涉及，所以从数的角度严格证明对学生来讲是个难点，如果没有课外的补充学习，学生很难想到这种证明方法，因此这里的处理方式是教师引导，且对证明不做规范性要求．

完善平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1 λ2e2．

设计意图：将教材定理中的“有且只有”写作“存在唯一”，减少理解障碍．

教师解释定理的价值，深化学生对定理的认识：

阿基米德曾经说过，给我一个支点，我可以撬起地球．

通过平面向量基本定理，我们可以说，给我两个不共线的向量，我可以通过简单的线性运算，构造出该平面内的所有向量；给我两个不共线的向量，我可以把该平面内任意向量的问题都化归为这两个向量的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；给我两个不共线的向量，我可以把该平面内的向量与有序实数对建立一一对应，搭起数与形之间的桥梁，为用数的运算来刻画形的问题创造了可能．我只需要两个不共线的向量！

【设计意图】

（1）借用阿基米德名言的句式，引起学生兴趣和注意；

（2）通过排比，强调平面向量基本定理的重要价值；

（3）说明这两个不共线向量的重要地位，引出基底定义．

给出基底的定义：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base)．

【设计意图】给出基底的英文单词，base有基础的意思，更容易让学生理解基底是构建平面内所有向量的基础．笔者认为这也体现了平面向量基本定理中“基本”的含义．

追问：表示平面内所有向量的基底有多少组？需要满足什么条件？

问题4：这个定理与平行向量基本定理有什么联系？

设计意图：

（1）使学生理解二者的联系，即平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推广，平行向量基本定理是平面向量基本定理在一维时的特殊情形，这里体现了特殊与一般的辨证观点，在这种视角下，平行向量基本定理中的“非零向量”也可以称为一维空间上的一个基底，由它生成了与之共线的所有向量；

（2）使学生体会联系地看待事物，而非割裂地看待知识，将新知识纳入到自己的知识网络中，提高对知识体系的整体认识．

提出课后思考问题：三维空间的基底应该如何选取？

小结反思，布置作业

1．小结

本节课我们从一个具体问题的探究提出了研究的方向，从猜想到验证得到了定理的雏形，从存在到唯一完善了定理的内容．

平面向量基本定理是将平面向量任意化归为确定的理论依据，是由几何到代数的桥梁．

希望同学们通过这节课能够体会一个数学概念从起因到发生，再到雏形，然后逐步发展及完善过程中蕴含的合理的思维方式．

设计意图：

课标中对平面向量基本定理的要求是了解，而本节课花了较大的精力去发现、验证和理解，一方面是希望学生能够认识到这个定理的价值，另一方面是希望学生通过这节课的探究，经历一个数学概念形成的过程，体会其中蕴含的合理的思维方式．所以在小结中笔者希望学生能够理解教师的意图．

作业：

必做作业：校本作业(十九)。

课后思考：

（1）试利用三角形法则对定理进行验证；

（2）要想表示三维空间内的任意向量，笔者们最少需要几个怎样的向量作为基底呢？

【设计意图】必做作业是对课内知识的巩固，课后思考是让学有余力的生能够有充分的发展空间

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