如何求开区间内连续函数的最值（你知道连续函数在开区间上的最值定理吗）

#创作挑战赛#

一说到最值定理，你肯定会想到连续函数在闭区间上的最值定理，即连续函数在闭区间上既有最大值，也有最小值。这在《老黄学高数》系列视频第227讲中已经做过证明。那么你知道吗？其实连续函数在开区间上也是有最值定理的。只是这个定理增加了一个附加的条件：两个端点的单侧极限都等于0.

设f在(a,b)内连续，且lim(x→a )f(x)=lim(x→b- )f(x)=0. 证明：f在(a,b)内有最大值或最小值.

证：若f(x)≡0, x∈(a,b)，则结论成立.【若函数恒等于0，结论当然成立，此时最大值和最小值都是0】

若存在x∈(a,b)，使f(x)≠0, 补充定义f(a)=f(b)=0，【若函数不恒等于0，则补充定义两个端点的函数都为0，补充定义定义域端点的函数值，是高数最常用的解题方法之一。注意，这里一定要定义端点的函数值都等于0，因为两个端点的单侧极限都是0，这样才能保证左端点右连续，而右端点左连续，保持函数在新的定义域上连续】

则f(x)在[a,b]上连续， ∴f在[a,b]可取得最大值与最小值.【补充定义后，定义域就变成一个闭区间，由连续函数在闭区间上的最值定理就可以知道，函数在这个闭区间上有最大值和最小值】

若存在一点x0∈(a,b)，使得f(x0)>0，则f能在(a,b)上取得最大值，【又函数不恒等于0，所以如果存在函数大于0的点，那么，在这些大于0的点中，就必存在函数的最大值，否则最大值仍是0】

若f(x0)<0，则f能在(a,b)上取得最小值.【同理，如果存在函数小于0的点，那么在这些小于0的点中，就必存在函数的最小值，否则最小值仍是0】

想要学好高数，一方面要懂得把知识点转化成自己的内在知识，另一方面要懂得将知识点拓展开来，得到新的知识点。而后者更是现实前者的重要手段。