正弦电路的复阻抗（拓扑学家的正弦曲线）

原文作者，Evelyn Lamb，数学及科学普及自由作家。

翻译作者，radium，哆嗒数学网翻译组成员。

校对，sanshi。

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在拓扑空间中，拓扑学家的正弦曲线的经典在于它连通但非道路连通，即你可以看到他的终点线，但你不能从这里跑到那里。

分析和拓扑的学生初看这个集合有四个基本的性质：开区间、闭区间、紧的以及连通性。在前面的这些性质中似乎连通性是最简单的。

连通这个词语的解释很好理解，但在数学中要严格地定义却出奇的困难。拓扑学家的正弦曲线就是众多例子中的一个，这个例子可以明确的说明连通的含义。

在通常词典里，我们通常认为连通是两个物体之间的性质:A和B如果以某种方式重叠或者你可以从A连到B那么我们说A和B是连通的。在数学里面连通性是一个集合的性质。那么我们如何让自然语言的思想数学化并应用它？一个似乎很理所当然的定义是，如果你可以从集合中的一点到集合中的任意一点那么我们称之为连通。但是如果是联排公寓又如何呢？

这个空间是函数 f(x)=sin(1/x)在(0,1]区间加点(0,0)的图像。我们可以看见随着x接近0,1/x越来越大，所以sin(1/x)在-1到1之间剧烈震荡。拓扑学家的正弦曲线是数学系学生看到的第一个例子，它连通但非道路连通。你可以看见他的终点线，但你不能从这儿到那儿去。

为什么连通？让我们尝试着将它分到两个不相交的开集。其中的一个集合包含点（0,0）因为是开集，它也包含以（0,0）为中心的领域内。无论多么小的领域内它都将包含一些x正半轴的点和在y轴上的0点。也就是说着它将包含一些f(x)的图像。这就意味着如果我们想要分裂空间我们不得不将函数f(x)的图像的一部分分到一个集合，而剩下的部分分到另一个集合。但是这儿没有办法分裂这个图像，是连续的曲线，就像实轴一样是连通的。

那为何拓扑学家的正弦曲线不是道路连通的呢？假设你正尝试着从 f(x)图像上的一点到(0,0)点，你将会一直走，走到永远。你会真的真的很接近它，但总会有一条无限长的路还在你面前。

一个密切相关的空间是封闭的拓扑学家的正弦曲线。一个封闭的空间包含所有边界点，边界点意味着可以任意接近集合里面的点。随着曲线f(x)震荡，所有在y轴上-1到1之间的点越来越接近曲线上的点，所以为了使拓扑学家的正弦曲线成为闭集，我们也在y轴上划分一个-1到1的线段，作为边界。这样不会破坏其他的拓扑性质——它依然连通但非道路连通——但是现在也封闭了。有些人喜欢玩这样玩儿。

如果你之前学过拓扑学，你可能看到过一条称做紧致性的拓扑学性质的定义：一个集合是紧致的，如果每一个开覆盖都有有限子覆盖。拓扑学家的正弦曲线不是紧致的，但是封闭的拓扑学家的正弦曲线却是。本着挫败数学教科书的精神，我将为读者留下一个思考题：找出拓扑学家的正弦曲线的一个开覆盖但是没有有限子覆盖，然后指出为什么这例子在封闭的拓扑学家正弦曲线中不成立。在一个闭，不可数，无处稠密的[0,1]区间的子集之后写下你的答案，然后送到康托广场，Log2(3)邮箱

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