斐波那契数列是世界难题吗？隐藏在自然界的数学幽灵

有这样一个数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368……这个数列前两个数均为1，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

数列最早被提出是，公元前200年左右，印度数学家Gopala，他在研究箱子包装物件长度恰好为1和2时的方法数时首先描述了这个数列。

也就是这个问题：

有n个台阶，你每次只能跨一阶或两阶，上楼有几种方法？

而最早研究这个数列的当然就是斐波那契（Leonardo Fibonacci）了，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。

1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

他当时是为了描述如下情况的兔子生长数目：

第一个月初有一对刚诞生的兔子，

第二个月之后（第三个月初）它们可以生育，

每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子，

兔子永不死去。

这个数列出自他赫赫有名的大作《计算之书》，后来就被广泛的应用于各种场合了。这个数列是这么定义的：

01斐波那契数列及其特点：

斐波那契数列通项公式：斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

菲波纳契数列既谓神奇数字，上述数字自有神奇之处，其特点包括：

1、从第三项起，任何一个数字均是其前两个数字的和数，例如1 1=2；1 2=3；2 3=5；3 5=8；5 8=13；8 13=21；13 21=34等。

2、任何两个相隔的数字彼此顺序相除或倒转相除，所得数字分别接近0.382及2.618。

接近0.382比率，例如：8÷21=0.381；13÷34=0.382；21÷55=0.382等。

接近2.618比率，例如：21÷8=2.625；34÷13=2.615；55÷21=2.619等。

3、除首四个数字（1、1、2、3）外，两个相邻数字彼此相除，所得数字分别接近0.618及1.618比率。

接近0.618比率，例如：5÷8=0.625；8÷13=0.615；13÷21=0.619等。

接近1.618比率，例如：8÷5=1.6；13÷8=1.625；21÷13=1.615等。

02斐波那契数列在自然界的神奇体现

在自然界中，一些植物的花瓣、叶片、果实的数目以及排列的方式，都是非常贴合斐波那契数列的。

在一定条件下，我们通过细致观察可以发现，向日葵的花盘中有2组螺旋线，一组以顺时针方向盘绕，另一组则按照逆时针方向盘绕，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，这些顺逆螺旋的数目并不固定，但这些数目往往不会超出34和55、55和89、89和144这三组数字，每组数字都是卖波那契数列中相邻的两个数。

再比如树木的生长。新生的枝条需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。一株树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树本各个年份的枝丫数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

我们观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、漏斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目也具有斐波那契数：3、5、8、13、21……通常来说，百合花花瓣数为3，梅花花瓣数为5，飞燕草花瓣数为8，万寿菊花瓣数为13，雏菊有34、55和89三个数目的花瓣数。

这里我们以向日葵为例，详细说一下内在的魅力吧。如果我们仔细观察，就会发现向日葵盘内的种子形成两组螺旋线，一组是顺时针的，另一组是逆时针的。而这两组螺旋线的条数刚好是两个相邻的斐波那契数，小向日葵是34和55，大向日葵是144和233。

松果种子、菜花表面也有类似的规律。

为什么自然界中有如此之多的斐波那契数列巧合呢？这是植物在大自然中长期适应和进化的结果，是为了让自己最充分地利用阳光和空气，繁育更多的后代。当然，受气候或病虫害的影响，很多植物生长不一定严格按照斐波那契数列。

令人惊奇的是，随着数列项数的增加，斐波那契数列前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… （黄金分割是指把一线段分为两部分,使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。两个这样的点，约等于0．618：1 ）

黄金分割与人类的演化和人体正常发育密切相关。人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。

例如肚脐是头顶－足底之分割点；咽喉是头顶－肚脐之分割点；膝关节是肚脐－足底之分割点；肘关节是肩关节－中指尖之分割点等等。神奇的0．618黄金分割律，与我们的生活息息相关，也是中老年人养生长寿的密码。最佳睡眠时间：从子时到午时共12小时，乘以0.618，约为7.5小时。

黄金分割也被广泛应用于建筑界，被认为是建筑和艺术中最理想的比例，蕴含着艺术性、比例性、和谐性。历史上许多著名的建筑，实际上它们或多或少都应用了黄金分割。

古希腊巴特农神庙是举世闻名的完美建筑，建成于公元前477年至前432年，

它坐落在希腊首都雅典卫城的最高点上，是为了庆祝雅典战胜波斯而建，神庙的地面和顶部、立面的高和宽，都十分接近黄金分割比。

埃及金字塔的建造也充分利用了黄金分割的原理，虽历经几千年的自然侵蚀和人为破坏，已残损不堪。但从远处观望金字塔，雄伟庞大的建筑体在整体上还是呈现为一个角锥体，并且是一个最具有美感的四角锥体结构，虽然这些金字塔大小各异，金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618。

当我们按斐波那契数列，取边长分别为1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形，每一个新的正方形都有一个边，其长度与最近两个正方形的边之和一样长，

这组矩形的边长是两个相邻的斐波那契数，称为斐波那契矩形，也叫黄金矩形

（记住这个黄金矩形，等下还会再次出现）。然后,以各正方形的一个顶点为圆心

画出四分之一的曲线，再连接所有曲线，最后形成的螺旋线就是下图所示的

“斐波那契螺旋线。

人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉。

还有就是台风，对于结构完整的台风，最多的形容就是螺旋形结构，而这个结构也是符合斐波那契螺旋线的。

八百年来，人们在各个领域都发现了斐波那契数列。尤其是十九世纪开始，人们发现了斐波那契数列在计算机、物理、化学等领域的应用，这个古老的数列焕发了新的青春。1963年，斐波那契协会成立，并出版了《斐波那契季刊》用以刊登与斐波那契数列相关的研究成果。

03斐波那契数列的数学问题

众多的数学爱好者对于斐波那契数列的研究热情很高，也编拟出了很多与之有关的数学趣题，下面我们一起来看看吧。

1．著名的斐波那契数列指的是数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和．该数列有很多性质，“相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比0.6180339887…”是其中的一个性质．请经过探究，猜测该数列中的第2020项与2021项的比值与黄金分割比的大小关系为（　　）

A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定

【解析】根据斐波那契数列中奇数项与后一项的比值大于黄金分割比，偶数项与后一项的比值小于黄金分割比即可求解．

∵第2020项是偶数项，∴第2020项与2021项的比值小于黄金分割比．故选：C．

2．阳明山万寿寺前有11级台阶，小敏一步只能上1级台阶或2级台阶，那么：1级台阶只有1种走法：记为（1）；2级台阶有两种走法：记为（1、1）、（2）；3级台阶有3种走法：记为（1、1、1）、（1、2）、（2、1）；4级台阶有5种走法：记为（1、1、1、1）；（1、1、2）（1、2、1）；（2、1、1）；（2、2），小敏发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、…这就是著名的斐波那契数列．那么小敏上这11级台阶共有（　　）种不同走法．

A．34 B．89 C．144 D．233

【解析】根据斐波那契数列的特点：数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，据此可得答案．

根据题意知第7级的走法有8 13＝21种，

第8级的走法有13 21＝34种，

第9级的走法有34 21＝55种，

第10级的走法有55 34＝89种，

第11级的走法有89 55＝144种，

故选：C．

3.我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后依次连接P1P2，P2P3，P3P4得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上P10的点的坐标为　______．

【解析】我们把1，1，2，3，5，8，13，21，34，…组数称为斐波那契数列，观察图象，推出P10的位置，即可解决问题．

由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，P10在P7的正左方，

且P10的横坐标为：﹣34﹣6＝﹣40，P10的纵坐标与P7的纵坐标相等是﹣9，

所以P10的坐标为（﹣40，﹣9），

故答案为：（﹣40，﹣9）．

4. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为______.

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