什么样的人会用到微积分（还记得那个让你终身难忘的微积分吗）

人类对自然、社会、自身等各方面的认识从来没有停止过，也不会永远止步。如微积分这门学科的出现就是很好的证明，它让人类认识自然社会的视角从有限到无限，再从无限回到有限，使整个人类文明实现质的飞跃。

说到微积分，很多人多多少少都会了解或学习到一些，如二次函数当中求最值问题（最大值和最小值），就是属于微积分一类。

对于很多人来说，如果参加工作后不从事数学相关工作，或许就很少运用微积分数学知识，但其中的极限思想却会影响我们的思考和行为。可以这么说，虽然微积分这门学科在几百年前就已经创立，发展起来，但时至今天很多人连理解都成困难，更别说掌握了。

学习微积分给人类思维发展提供了一个很好的思想锻炼机会，二次函数的图象是一条抛物线，这条曲线向两端无限延长，但同时又接近最高抵或最低点。体现微积分精髓之一，研究对象从有限到无限，又从无限回到有限。微积分这样的思维方法是一种数学的方法，体现数学的哲学思辨、逻辑性、系统性思考方法。

其实微积分的应用已经是非常广泛，如在经济学、管理学、银行、金融、财会上等各方面，微积分处处都起着重要的作用。同时微积分也渗透和影响其他学科的发展，如对物理、天文等学科学生来说，微积分也是必学知识之一。

因此，今天我们就一起来简单了解一下微积分的发展历史，让更多人认识到这一门学科的重要性。

微积分是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支，属于数学的一个基础学科。

微积分主要内容包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

毫不夸张的说微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，如过去很多无法用初等数学知识解决的问题，一旦运用微积分知识，这些问题往往就变得简单。

人类进入17世纪以来，随着社会的进步和科技技术以及生产力的发展，当时很多数学知识已经无法适应和支撑社会的发展。因此，基于当时社会发展的需要，各行各业对数学知识也提出更高的要求，如当时航海、天文、矿山建设等各方面存在许多问题要解决。

之后这些问题直接促进数学开始研究变化着的量（变量），数学进入了“变量数学”时代，自然也就成了促使微积分产生的因素。总的来说归结起来，大约有以下四种主要类型的问题：

一、运动中速度与距离的互求问题

已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。

二、求曲线的切线问题

这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

三、求长度、面积、体积、与重心问题等

这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体 的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上，关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。

四、求函数的最大值和最小值问题

例如炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”的问题是：求能够射出最大射程的发射角。十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）发射角是45度时达到最大射程；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在前人工作的基础上，分别在自己的领域里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

微积分在17世纪左右正式成为一门学科，成为数学的分支，但实际上积分的思想在古代早就已经产生了。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代其实已经有比较清楚的论述，如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。还有是在公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

虽然人们已经充分认识到微积分重要作用，但在提出谁是这门学科的创立者的时候，却造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

牛顿和莱布尼茨分别是自己单独进行独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。值得一提的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。两个人都是伟人，为微积分发展做出重要贡献，唯一区别就是研究方向各有长处，也都各有短处。

虽然牛顿和莱布尼茨确立了微积分的诞生，但在一些方面也存在缺陷。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。

极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。

可惜的是，虽然在中世纪是欧洲数学大发展的时期，但我国基本处于停滞状态（明、清时期），因此当时我国的数学家与微积分发展基本无缘。

进入20世纪以来，华裔数学大师陈省身在微分几何领域，利用微积分的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥着巨大的作用，并且这门学科至今仍然很活跃。

中国的数学爱好者发现了积乘和微商，使微积分的内容进一步拓展。