怎么理解一元函数微分学(一元函数的微分)
对于某一个函数F(x),下面引入一个相关函数来观察其函数极限,现在小编就来说说关于怎么理解一元函数微分学?下面内容希望能帮助到你,我们来一起看看吧!
怎么理解一元函数微分学
对于某一个函数F(x),下面引入一个相关函数来观察其函数极限
g(x) = (F(x0 x) - F(x0))/ x
上式中的x0暂视为一个常数。
将上式改写为:
g(x,x0) = (F(x0 x) - F(x0))/ x
其中g(x,x0)表示此函数含有参数x0(暂视为常数)。
显然,如果F(x)在x=x0点上连续,则g(x,x0)在x=0这个点上是个待定型0/0。若g(x,x0)的x=0点是个可去间断点(即其在此点上的左右极限存在且相等),通过重新定义g(0,x0)使其等于g(x,x0)在此点上的极限,则可得到唯一的值
g(0,x0) = lim[x→0] g(x,x0)
现在,换一种形式表示上式
f(x) = g(0,x) = lim[∆x→0] g(∆x,x) = lim[∆x→0] [(F(x ∆x) - F(x))/ ∆x]
其中,将原x换成∆x(表示x的一个小的差分量),将x0换成x(视原x0为变量且用x代之)。即
f(x) = lim[∆x→0] [(F(x ∆x) - F(x))/ ∆x]
这就是通常所用的导函数定义形式。记为
f(x) = d/dx F(x)(或dF(x)/dx、F'(x))
如前所述,这是个一元实函数集上的映射。
如果将导函数的定义写成如下形式
f(x) = lim[x'→x] [(F(x') - F(x)) / (x' - x)]
则可以看出导函数f(x)其实就是与函数F(x)交点为(x,F(x))和(x',F(x'))的割线之斜率在x'→x时的极限,即过点(x,F(x))的切线斜率。这就是导函数的几何意义。
我们已经知道,导函数可表示成f(x) = dF(x)/dx。其中dF(x)/dx原本只是个“符号”,是映射d/dx F(x)的另一种表示。如果考虑函数F(x)过点(x,F(x))的切线上的点,其切线上任意两点的差分商∆y/∆x都等于f(x),换种写法为
∆y = f(x)∆x (= F'(x)∆x)
令差分无限小,且用dy和dx代之,便有
dy = f(x)dx (= F'(x)dx)
这就是所谓的微分形式(简称微分)。现在分析一下函数F(x)的差分和相应切线差分(或微分)的误差,即
∆F(x) - F'(x)∆x = F(x ∆x) - F(x) - F'(x)∆x
除∆x得
(∆F(x) - F'(x)∆x)/∆x = (F(x ∆x) - F(x))/∆x - F'(x)
若F(x)存在导函数(或可导),取极限得下式
lim[∆x→0] [(∆F(x) - F'(x)∆x)/∆x] = 0
即(∆F(x) - F'(x)∆x)是较之∆x的高阶无穷小量,表示为
∆F(x) - F'(x)∆x = o(∆x)
或 ∆F(x) = F'(x)∆x o(∆x)
数学上称此为可微,直接表示成
dF(x) = F'(x)dx
明显可知,一个函数可微的充分必要条件是可导。
由单侧极限可定义相应的单侧导数,在此不作详述。
高阶微分(导数)是微分的微分(导函数的导数),具体内容在此略。
下面分几方面说明微分或导数的相关性质
一)导数的运算法则
1)导数算子的线性特性
d/dx (a f(x) b g(x)) = a d/dx f(x) b d/dx g(x)
2)乘法运算法则
d/dx (f(x)g(x)) = g(x) d/dx f(x) f(x) d/dx g(x)
3)除法运算法则
d/dx (f(x)/g(x)) = (g(x) d/dx f(x) - f(x) d/dx g(x))/g(x)^2
4)反函数运算法则
如果函数f(x)存在导函数d/dx f(x)且存在可导的反函数,则其反函数的导函数是
d/dx f⁻¹(x) = 1/(d/dy f(y))
其中,x=f(y)。
显然,反函数的导数与原函数之导数呈倒数关系,这容易从“符号”关系dx/dy = 1/(dy/dx)中看到。
5)复合函数运算法则
如果函数f(x)和g(u)存在导函数,则其复合函数g(f(x))的导函数是
d/dx g(f(x)) = d/du g(u) d/dx f(x)
这叫复合函数的导数链乘法则,这也容易从“符号”关系dy/dx = (dy/du)(du/dx)中看到。
由上述五个运算法则可知,初等函数的导函数在其自然定义域内存在且可解析求解。
二)微分中值定理(简单罗列)
1)费马引理
2)罗尔定理
3)拉格朗日中值定理
4)柯西中值定理
三)罗必塔法则
针对待定型(0/0)的极限求解,有如下罗必塔法则
设f(x)和g(x)在点x0上都是无穷小量且可导,若g(x)的导函数在x0点的某领域内非零且f'(x)/g'(x)连续,则有
lim[x→x0] [f(x)/g(x)] = lim[x→x0] [f'(x)/g'(x)] = f'(x0)/g'(x0)
四)泰勒级数(展开)
泰勒级数是个(x-x0)的多项式,形式为
∑[k=0,n] ak (x-x0)^k
其特点是在x=x0点上泰勒级数的k≤n阶导数和与之相应的函数f(x)的k阶导数相等。显然
a)0次泰勒级数展开
f(x0)
与函数f(x)在x=x0点上有相同的函数值。
b)1次泰勒级数展开
f(x0) f'(x0)(x-x0)
在前基础上,与函数f(x)在x=x0点上有相同的一阶导数,即斜率相同。
c)2次泰勒级数展开
f(x0) f'(x0)(x-x0) (f''(x0)/2)(x-x0)^2
同样在前基础上,还与函数f(x)在x=x0点上有相同的二阶导数,即曲率相同。
....等等。
泰勒展开是分析和近似计算的有力工具,具体相关内容在此略。
最后列出几个基本初等函数的导函数
1)f(x) = x^μ
d/dx f(x) = μx^(μ-1)
2)f(x) = e^x
d/dx f(x) = e^x
3)f(x) = sin(x)
d/dx f(x) = cos(x)
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