中考数学专题之最值（中考数学思想方法专题1）

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材料特点

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考点解读：依据考试大纲和考点分析，按知识板块总结每模块考点，从根本上解决问题；

真题回放：按知识板块和考点归纳近年中考试卷，了解真相，有效复习。

正文

数学方法篇一：配方法

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．

【范例讲析】

1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用

在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

例1、求二次根式

中字母的取值范围

分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。

解：

因为无论a取何值，都有

。所以的a取值范围是全体实数。

点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。

2．配方法在化简二次根式中的应用

在二次根式的化简中，也经常使用配方法。

例2、化简

分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现

可以写成

，从而使题目得到化简。

解：

点评：题型

一般可以转化为

（其中

）来化简。

3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用

在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。

例3、不管取什么实数，

的值一定是个负数，请说明理由。

分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“ 负数”的形式。

解：

∵

，

∴

。

因此，无论x取什么实数，

的值是个负数。

点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“

负数”的形式来证明。

4．配方法在解某些二元二次方程中的应用

解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。

例4、解方程

。

分析：本题看上去是一个二元二次方程的问题，实质上它是一个非负数问题。

解：由

整理为

∵

，

，

∴

，

，

∴

，

。

点评：把方程

转化为方程组

问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。

5．配方法在求最大值、最小值中的应用

在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们求出所要求的最值。

例5、若

为任意实数，求

的最小值。

分析：求

的最小值，可以先将它化成

，根据

，求得它的最小值为3。

解：

∵

，

∴

，

因此，

的最小值为3。

点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。

6．配方法在一元二次方程根的判别式中的应用

配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，并且也是解决其他问题的方法，其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。

例6、证明：对于任何实数

，关于

的方程

都有两个不相等的实数根。

分析：由于方程中含有字母系数，而要证明的是方程有两个不相等的实数根，只需证明判别式恒大于零即可。

解：

∵

，

∴

，即

。

∴方程有两个不相等的实数根。

点评：利用判别式证明方程根的情况是一种常见的题型，其实质上判断判别式的正负，一般都可以利用配方法解决。

7．配方法在恒等变形中的应用

配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方式。然后再进行解决。

例7、已知

又知a、b、c为三角形的三条边，

求证：该三角形是等边三角形。

分析：题中

分别含有a、b、c的二次式，提醒我们不妨利用配方法进行解答。

证明：∵

，

∴

，

∴

，

∴

，

∴

，

∴

，

，

，

∴

，

，

，

∴

。

∴三角形是等边三角形。

点评：配方法在等式恒等变形中的应用，经常会让我们收到意想不到的效果。

适应学生

六类考生立竿见影

1——基础薄弱，知识漏洞多，提分空间最大

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——考试成绩不稳、状态不佳，时间不够用

5——不了解中考题目难易，不熟悉中考题型

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