人工智能算法的数学基础（人工智能基础-数学分析）

极小曲面背景下结合Jacobi矩阵直观探究坐标变换、投影旋度、散度著作权所有：Wang FreyMajor ：NJU-AI知乎主页：冒充小天才本站将持续更新笔者在学习过程中遇到的问题和产生的想法。如果对您有帮助，还请点赞，收藏，加关注。您的喜爱是我更新最大的动力。一、极小曲面二、Jacobi矩阵三、面积投影和坐标变换四、旋度、散度

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下面是导入的文本格式，显示不了公式555555！

一、极小曲面

二维空间中的曲线，我们可以对进行微元。例如，为了研究在的极小变化时，我们证明了,.更普适一点，我们证明了对,在某一点可导的情况下，我们证明了. 以此类推，我们不难推想，对于一个曲面，其微元具有什么样的性质呢？我们可以假设，在直角坐标系三维空间当中，存在一个连续的函数值函数, 因其连续性，我们不难想象出，其为一个曲面。例如其图像如下所示

的图像我们再来联想一下：我们在讨论二维空间当中曲线的时候，是不是证明过，在极小的微元时，我们可以近似地化曲为直，例如我们利用泰勒公式应该有当非常接近于时，我们认为，由于后面的项均为的高阶无穷小，所以我们就可以写成将方程改写这也是化曲为直的潜在思想。我们不禁会想，既然曲线可以这样处理，那么是不是说曲面也可以这样处理呢?

事实上在数学分析中我们已经证明过对于可见，极小曲面下，值的增长，也满足这样的线性关系。

二、Jacobi矩阵

通过学习，我们知道，除了函数值函数，还有向量值函数，这个不难理解，结合我们所知的物理知识，例如，波，电场，磁场，力等其实都属于向量值函数。

我们记一个向量值函数为为

现在我们对向量值函数的每一个分量分别进行微分

学过高等代数的我们都知道，对于这样的形式，我们可以用矩阵的方式表达。中间的方阵正是一个雅可比矩阵，实际上雅可比矩阵可以写成更一般的形式，这里就不做赘述。

三、面积投影和坐标变换

下面我们利用矩阵来研究一下其对积分的作用。

首先，在一个面积分当中，我们实际上相当于，对无穷小的面元（近似为平行四边形）和其高（即函数值)求体积之和。

其次我们知道，同样一个曲面在不同的坐标系下会有不同的表达形式。如果我们要沿着这个曲面进行一个二重积分，在两个坐标系下也会有不同的积分形式，其结果也会不同。

那么如果我们知道了即与 之间的关系是不是就能够进行任意的坐标变换而获得更好的积分形式呢？

确实如此。对于任意一点，我们存在与之对应，这时有。那么我们只要考虑其面元的比例即可确定其最终积分结果的比例。

极小曲面被近似为一个平行四边形，故面元的面积可以用和表示。

通过前面的分析我们又知道在极小曲面下我们满足线性关系,故:其实在此步，我们也可以利用,所得到的结果应该是一样的。

因此我们可以看到，面积元是有比值大小的，刚好是关于，偏导数所组成向量的叉乘。而这也刚好是行列式的值。

事实上，在书中我们已经证明，对于同元数的替换，其所得方阵的行列式，就是面积元之间的比例系数。

有了这样的基础，我们来考虑这样一个问题：

,是.

我们很容易发现是一个不好处理的曲面，但是它在上的投影确实极易确定且方便求解的. 即.

对于这样一个曲面，我们知道它可以通过u,v来表示

令,

所以我们利用上面的坐标变换，其面积元大小为

四、旋度、散度

在书中，我们还介绍了场的概念，介绍了散度，旋度等概念，但书中涉及的散度、旋度仅限制于三维空间，下面，我将把二维矩阵做分解，定义二维曲面中的散度和旋度。

我们知道，二维空间的向量场应有,其中：将其写成矩阵的形式。

这样我们将原向量场分解成了三个向量场

首先我们来讨论式的含义。

我们考虑一根在平面中绕轴旋转的刚体，其末端的速度设为，且做圆周运动，其坐标为。

因为其做圆周运动，所以沿轴方向速度为零，通过极坐标的转化我们有这不正与式的结果相符吗？这也就证明了平面中刚体圆周运动有：接着再看

当式项均为零,我们有故所以我们可以看出的向量场实际上就是在一张平面上进行大小的放缩。

如图所示

最后再看式

我们发现中间矩阵可以写成我们不难看出所以矩阵是一个正交矩阵。

二阶的正交矩阵只有两种形式：旋转变换和镜像变换。

结合式我们看到正可以写成下列形式正是对其不断地进行镜面反射与伸缩，可以理解为沿着变化的方向以变化的速率进行拉伸。

我们可以做一个小总结，我们将向量值函数的矩阵进行分解，将其变化分解为：旋转、放缩、变形三种不同的效果。

应当指出的是，不只是二维，实际上对于三维甚至更高维的向量值函数我们也可以对其矩阵进行类似的分解。

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