为什么负数乘负数乘负数还是负数（为什么负负得正）

“一别之后，二地相思。只说是三四月，又谁知五六年。七弦琴无心弹，八行书不可传，九连环从中折断，十里长亭望眼穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨。”

在我们的数学学习过程中，充斥着大量的数学口诀，比如“奇变偶不变，符号看象限”，“上加下减，左加右减”，“负负得正”，“移项要变号”……倘若带着这些口诀穿越回古代，必可成为暗语第一人。试想一下，月黑风高的深夜，几声沉闷的敲门声后躲着一个黑衣人，门内：“上加下减”，门外：“左加右减”。门瞬间打开，两人深情握手！

今天我们对其中的一个口诀，提出一个尖锐的问题：“负负得正好像是铁一般的事实，那么为什么会负负得正呢？”相信很多朋友会一时错愕的回答不出来，既使想一想也不一定能说出个一二三来。好像“负负得正”这句话没有什么需要解释的，数学中默认的规矩，也许当年读初中时老师就是这么要求的，背下来就好了，背下来题也会做了，计算速度也快了，一口气刷5套数学题不费劲儿！

事实上，看似很简单的“负负得正”，经历了大起大落的历史。要想弄明白“负负得正”，不得不先对“负数”提出点意见，事实也的确如此，就“负数”而言，一直以来它都不是被人们愉悦的接受的，“负数”从提出，到被人们所接受，虽然不能说是历经“九九八十一难”，但也是体现了“真金不怕火炼”的心酸历程。

负数的历史为什么要有负数？

在几百年前，负数不被人们普遍接受，即便是数学家。直到19世纪中叶，负数才成为一等公民。

数字源于对自然物的记录，比如：今天打了5只羊，8只兔子，自然数的出现就理所应当了。而分数仅仅是改良了的整数，比如：2/5米，就是将一米分成5部分，然后取其中2部分而已。因此，古希腊的毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理念才能有令人“宗教”般的崇拜，而他们的“数”指的就是整数，认为世间的一切均可以用整数表示，并且当时的人们对此深信不疑。

在计数的过程中，最小的数必然是什么都没有，也就是数字0，怎么能有比“什么都没有”还小的数出现呢？这是一个非常令人费解的问题，这样的问题又有什么实际意义呢？

为了解释这个问题的实际意义，我们在此列举两个数学问题，在小学奥数中它们也叫做“年龄问题”，当然我们的题目并不难。

问题一：“哥哥今年7岁，妹妹2岁，那么几年后哥哥的年龄比妹妹的大一倍？”

问题二：“哥哥今年18岁，妹妹11岁，那么几年后哥哥的年龄比妹妹的大一倍？”

设x年后，哥哥的年龄比妹妹的大一倍。列方程，解方程：

问题一：7 x=2（2 x）；解得：x=3

问题二：18 x=2（11 x）；解得：x=-4

对于问题一，答案很自然，3年后哥哥的年龄比妹妹的大一倍。而对于问题二的负解，也是有实际意义的，可以答成4年前哥哥的年龄比妹妹的大一倍。

看起来很讲理吧，但是当时的人们并不这么认为，人们认为负数的答案是荒谬的，至于为什么出现了负数的答案，那是因为本身的题目就是错误的，问题二应该被问成“几年前哥哥的年龄比妹妹的大一倍”。答案自然就是正数4了。

数学家的困惑

前文提到，即便是数学家，也对负数有抵触情绪，下面我们来细数几位数学大咖，看看他们对于负数的苦恼！

古希腊的丢番图，在《数论》第五卷第二题中，得到方程4x 20=4，他认为，某物的4倍再加20，不可能等于4，这是荒谬的，在他的数字字典中，只接受正的有理数。

古希腊的丢番图

阿拉伯数学家阿尔-花剌子模，认识到一元二次方程有两个根，但只有当它们都是正数的时候才是。这也许基于是他求解一元二次方程的方法，他解方程的方法非常精彩，利用长方形的面积和边长，故而他认为如果解是负数将是无意义的。

阿拉伯数学家阿尔-花剌子模

法国数学家韦达，没错，就是韦达定理的韦达，他也拒绝接受负数，认为当负数作为方程的解出现时，它们被称为“虚解”，“假根”。如果负数被接受为数字，会使计算非常的混乱。比如：方程x²-2x 2=0，根据求根公式，可以得到方程的根是1 √-1,1-√-1，直接导致了负数出现了平方根！

法国数学家韦达

法国数学巨匠笛卡尔，认为涉及负数的平方根是“想象的”，比如对于方程x4=1，有一个真实根（ 1），一个假根（-1），两个想象的根（ √-1）和（-√-1）。顺便提一句，虽然当今我们使用的直角坐标系，就是以笛卡尔命名的直角坐标系，但是当时笛卡尔所使用的坐标系并不像今天的坐标系一样，它的构图主要涉及正数，对于x轴y轴负半轴的的概念完全没有出现。

法国数学巨匠笛卡尔

安托万·阿尔诺，法国神学家，逻辑学家和哲学家，他说如果-1小于1，那么在比例式-1:1=1：-1中，表明较小的数比较大的数，竟然等于较大的数比较小的数，这简直太扯了！（好有道理啊！）

约翰·沃利斯认为负数比无穷大还要大，他在《无穷算术》中说到，比如3/1>3/2，说明分母越小，而数越大，因此3/0就是无穷大，现在问题来了，如果-1<0，说明3/-1应该比3/0还要大，也就是-3比无穷大还要大！

以上几位数学家的困惑是否曾经困扰着你?事实上，数学家们对于应用负数进行计算是没有问题的，主要是不能理解这个概念本身。

阿拉伯数学家和古希腊数学家都懂得如何将（x-a）（x-b）展开，也就是他们是明确的清楚负负得正，负正得负的。

负数如何被接受

1831年，在那个蒸汽机车刚刚透露出一丝曙光的年代，英国逻辑学家奥古斯都·德·摩根写道：“想象的表达式√-a与负的表达式-b有某种相似之处，就实际意义而言，两者都是想象的，因为它们都难以想象。”这是面对越来越抽象的代数方法时，一个没落的传统最后的喘息。是的，随着代数方法和数字结构越来越完善，在高斯、伽罗瓦、阿贝尔等人的不懈努力中，代数方程的研究演变成代数系统的研究。简而言之，实际上是数学变抽象了，不那么讲究实际了。在更抽象的环境中，数字本身“真实”的意义与它们之间的操作关系变得不那么重要了！数学界终于接受了负数的身份。在完善的数学体系下，负数和正数一样，不分伯仲，终于不再是别人家的孩子！

英国逻辑学家奥古斯都·德·摩根

为什么负负得正？

最后让我们一起回到“负负得正”这个话题，我们先用两个小模型，去解释一下为什么“负负得正”。

模型一：债务模型

大数学家欧拉就曾经用债务的说法去解释负数的存在，他在《代数指南》中说：负数被视为债务，正数代表真实的财产，因此，当一个人一无所有，还欠下50枚硬币时，毫无疑问，他有-50枚硬币，如果有人给他一份50枚硬币的礼物的时候，他将还清他的债务，变得一无所有，虽然他比以前富有了。

一人每天欠债5元，给定一个日期，在那一天他拥有0元，3天后将欠债15元。如果将5元的债务记为-5，那么3天后，他的债务可以用数学来表达为：3×（-5）=-15。同样，一人每天欠债5元，那么他在给定日期（0元）的3天前，他的财产比给定日期的财产多15元，如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天的欠债，那么3天前他的经济情况就可以表示为（-3）×（-5）=15，从而说明了“负负得正”！

模型二：讲一个故事

假设老王是一个小岛的主人，在这个小岛上生活着许许多多的人。现在作以下规定：小岛上 的好人用正数（＋）表示，坏人用负数（－）表示；进入小岛用正数（＋）表示，出岛用负 数（－）表示。对于小岛来说，好事用正数（＋）表示，坏事用负数（－）表示。

现在，假设有一个人要进入（＋）你的小岛，如果他是一个好人（＋），那么对王岛主来说，这是一件好事（＋），所以（＋）ｘ（＋）＝＋；如果他是一个坏人（－），那么对王岛主来 说，就是一件坏事（－），所以（＋）ｘ（－）＝－。假设一个人要出岛（－），如果他是一个好人（＋），那么对王岛主来说，是一件坏事（－），所以（－）ｘ（＋）＝－，如果他是一个坏人（－），那么对王岛主来说，就是一件好事（＋），所以（－）ｘ（－）＝＋！所以，负负得正！

以上两个模型仅仅是对“负负得正”的解释，并不是证明，但是对于那些喜欢刨根问底的小朋友来说，这并不能满足他们的求知欲，下面给一个所谓的证明，为什么说是所谓的证明，不妨看完过程，我们再议不迟！

反证法：

假设“负负得负”。即（－1 ）ｘ（－1 ）=（－1 ）

一方面， （－1）ｘ（＋1）＝（－1 ）ｘ［（＋2）＋（－1）］

＝（－1）ｘ（＋2）＋（－1）ｘ（－1）

＝（－1）ｘ（＋2）＋（－1）；

另一方面，（－1）ｘ（＋1）＝［（－2）＋（＋1）］ｘ（＋1）

＝（－2）ｘ（＋1）＋（＋1）ｘ（＋1）

＝（－2）ｘ（＋1）＋1。

从而我们得到（－1）ｘ（＋2）＋（－1）＝（－2）ｘ（＋1）＋1，得－3＝－1，导出矛盾，假设是错误的，故（－1）ｘ（－1）＝＋1。负负得正！

虽然上述的证明用了一个高大上的证明方法--反证法！但是该过程严重“依赖”交换律，分配律等运算法则，也就是说我们把正数的运算法则作用于负数运算的时候，负负必然得正，其实这也算是一个解释说明，并不是证明！实际上，德国数学家汉克尔早就指出：在形式化的算术中，“负负得正”是不能被证明的，所以也不要试图去证明符号法则的逻辑必要性。

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