多元函数只有一个偏导数存在（从导数的意义理解多元函数的偏导数存在性与连续性为何无关）

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导数定义：

由于 x 可以代表定义域内的任意一点x0，上图说明，任意一点的导数值都是一个极限值,而不是一个函数值。因为导数值代表斜率，斜率是需要两个以上的点才能求出的。

我们知道，对于一元函数，可导一定连续：

但连续不一定可导：

图1

这里有一点要注意，当我们求某一点的导数值f'(x0)的时候，只有当导函数f'(x)在x0连续的时候，才可以直接把x0代入f'(x)求得f'(x0)的值，否则就要像上图一样通过定义来求左导数和右导数。比如f'(x)=x^2这样的导函数是可以直接代入求取x0这一点的导数值f'(x0)的，这是因为对于这个导数函数来说，任一点x0的极限值就等于它在这一点的函数值。

再看多元函数的情形。

讨论函数

在(0,0)点处的连续性：

由于二元函数任意一个点的邻域是一个区域，因此就存在着向这个点趋近时候的方向问题。正是由于方向性的存在，导致了上述函数在(0,0)点的不连续。

但这个函数在(0,0)点的偏导数存在。

对于上图中函数在(0,0)点的偏导数求法问题，同样注意：

对于非(0,0)点的偏导数，可以通过导函数来求：

对x偏导数：

Z'x= [y*(x^2 y^2) -xy*2x] /(x^2 y^2)^2

=(y^3 -x^2 y)/(x^2 y^2)^2

对y偏导数：

Z'y=[x*(x^2 y^2) -xy*2y] /(x^2 y^2)^2

=(x^3 -xy^2)/(x^2 y^2)^2

但对于(0,0)点的偏导数，则必须通过定义来求：

这是因为函数在(0,0)点没有函数表达式，只有一个数值，而对于一个孤立的点是没办法求导数的。当采用定义方式以后，出现了

由于delta x不等于0，因此可以使用函数表达式

而对于极限

之所以等于0 ，是因为我们确定了分子为0，而分母delta x只是无限趋近于0，永远也不会等于0，所以结果是0，上述极限并不是什么0/0型的极限，这也是极限思想的精髓所在。

上面的叙述说明对于多元函数来说，在某一点的偏导数存在，这一点的函数值不一定连续。

那如果函数在某点连续，是不是偏导数一定存在呢？

上图中的圆锥是一个倒立的圆锥：

当x=0时，由YOZ平面截取的曲线 z=|y| 就是和图1一样，因此在(0,0)点是没有导数的。

也可以通过求偏导函数的方法解决：

上面的这个偏导数函数在(0,0)点也没有定义，所以在(0,0)点没有导数值，不可导。

同样

也不可导。

上面的倒立锥面在(0,0)点是有定义的，但对于偏导函数来说，在(0,0)点是没有定义的，所以不可导。

因此，对于多元函数来说，函数连续不一定偏导数存在。

简单概括一下：

1：某一点的导数值是一个极限值。

2：对于多元函数来说，某一点的偏导数存在与否和这一点的函数值是否连续无关。

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