变力做功的求解方法及适用条件（变力做功的求解）

功的计算公式W＝ Flcosα只能用于恒力做功情况，对于变力做功，不能用W＝Flcosα来计算功的大小.

一、将变力做功转化为恒力功

求某个过程中的变力做功，可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功，此时可用W＝ Flcosα求功.等效转换的关键是分析清楚该变力做的功到底与哪个恒力的功是相同的

例：人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50kg的物体，如图所示，

开始绳与水平方向夹角为60°，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动s＝2m而到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功？

解析:人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知位移x方向一直是水平的，所以无法利用W＝ Flcosα直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力是恒力.设滑轮距地面的高度为h，则h（cot30°-cot60°）＝s

人由A走到B的过程中，重物上升的高度△h等于滑轮右侧绳子增加的长度，即:

△h＝h/sin30°-h/sin60°

人对绳子做的功为:

＝mg·△h＝1000（√3-1）J≈732J

二、平均力法

当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力对位移的平均值F＝

（F₁＋F₂）/2，再由W＝Flcosα计算功，如弹簧弹力做的功.

需要注意的是，若该力的大小随时间按线性规律变化，则不能通过求变力F对时间平均值来计算功.

例：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm。问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）

【解析】考查对变力做功的计算及理论联系实际抽象建立模型的能力。

方法:平均力法

三、图像法

在v-t图象中图线与t轴所围图形的面积表示位移，由此我们得出，在F-l图象中图线与l轴所围图形的面积表示力F所做的功，如图甲所示，在轴上方的面积表示力对物体做正功，在轴下方的面积表示力对物体做负功.如果F-l图象是一条曲线，表示力的大小随位移不断变化，在曲线下方作阶梯形折线，折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功.如图乙所示，当梯形折线分得越来越密时，这些矩形的总面积越趋近于曲线下方总面积，可见，曲线与坐标轴所围面积在数值上等于变力所做的功在图丙中轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少，力对物体做的总功是l轴上方面积与l轴下方面积之差.

例：如图甲所示，放在水平地面上的木块与一轻弹簧相连.现用手水平拉弹簧，拉力F与力作用点的位移s的函数关系如图乙所示，木块开始运动后，继续拉弹簧，木块缓慢移动了0.8m的位移，则上述过程中拉力所做的功为（）

A.16J B.20J C.24J D.无法确定

例：弹簧弹力做功推导

弹簧弹力做功做功表达式：W=kl²/2.l相对于弹簧原厂长.

例：

注：也可以用平均力法.

四、微元法

将运动过程无限分割，每一小段就可看成恒力做功，然后把各小段恒力做的功求出来，再求出代数和，即为全过程该变力所做的功，这种处理问题的方法具有普遍的适用性，但在高中阶段该方法主要用于处理大小不变、方向与运动方向始终相同或相反的变力做功的问题，如滑动摩擦力、空气阻力做功就属此种类型，不难得出，这种情况下，力对物体做功的绝对值等于力与物体运动路程的乘积.

例：解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，

假设驴拉磨的平均用力大小为500N，运动的半径为1m，则驴拉磨转动一周所做的功为（）

A.0 B.500J C.500πJ D.1000πJ

例：如图所示，质量为40kg的物体在一个水平外力作用下，沿直径为40m的水平圆形轨道匀速运动一周.若物体与轨道间的动摩擦因数为0.5，求水平外力在此过程中做的功.（g取10m/s²）

例：如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手.设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F不变，则下列说法正确的是（ABD）

A.重力做功为mgL

B.悬线的拉力做功为0

C.空气阻力做功为-mgL

D.空气阻力做功为-FπL/2

五、转换研究对象法

例：如图所示，人以恒力拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功拉力对小车来说是个变力（大小不变，方向改变），但仔细研，发现人拉绳的力却是恒力，于是转点换研究对象，用人拉绳的力所做的功来求绳子拉力对小车做的功.

能量守恒，力对绳子做功，绳子又对物体做功，而绳子是轻绳，本身不储存能量，所以力做的功全部转化为物快的机械能，所以可以等量计算。

六、分段法

例：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功.

如图所示，

一个质量为m＝2kg的物体静止在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5。现对物体施加一个大小F＝10N、与水平方向成θ＝37°斜向上的拉力，物体向前运动了距离s＝2m后，再将拉力撤去，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求:

（1）撤去外力的瞬间，物体速度的大小v；

（2）物体在运动的整个过程中，拉力F对物体做的功WF和阻力Ff对物体做的功Wf.

七、动能定理法

力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功.

例：如图所示，

原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置，用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F做功为（）

A. FLcosθ

B. FLsinθ

C. FL（1-cosθ）

D. mgL（1-cosθ）

注：此题要区别用恒力F拉动.

八、应用功能关系

做功是能量转化的原因，功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况，则给求变力做功提供了一条简便的途径.关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系式.

1、合外力做的功等于物体动能的变化。（重力也是外力，因为它是地球施与物体的，也来自于物体之外）

2、除重力、弹力以外的外力做的功等于物体机械能的变化。（机械能的变化有三部分组成:动能的变化，重力势能的变化、弹性势能的变化）

3、重力做功等于重力势能的减少（重力做正功，重力势能减少）

4、弹力做功等于弹性势能的减少（弹力做正功，弹性势能减少）

5、电场力做功等于电势能的减少（电场力做正功，电势能减少）

6、安培力做功等于电磁感应中产生的电能。

7、分子力做功等于分子势能的减少（分子力做正功，分子势能减少）

九、运用W＝Pt求变力功，功率求解法

涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，该过程中牵引力的功，可以通过W＝Pt或者P-t图面积来求.

例：质量为5000kg的汽车，在平直公路上以60.kw的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间.

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