绝对值的大小比较教学（口袋数学聚焦绝对值）

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脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点，通常运用分类讨论的方法去掉绝对值符号。

在具体讨论中，涉及多个字母时，要考虑各个字母取值的所有情形，与多个绝对值相关时，要用到零点分段讨论法。

求零点、分区间、定性质、去符号是零点分段讨论法解题的一般步骤。即令各绝对值式子为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个部分，再在各部分内化简求值。

01 典型例题讲解

例1、阅读下列材料并解决有关问题：

我们知道

，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x 1| |x-2|时，可令x 1=0和x-2=0，分别求得x=-1,x=2（称-1,2分别为|x 1|与|x-2|的零点值）。在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）当x＜-1时，原式=

;

（2）当-1≤x<2时，原式=

；

（3）当x≥2时，原式=

。

综上讨论，原式=

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1）分别求出|x 2|和|x-4|的零点值；

（2）化简代数式|x 2| |x-4|

【分析】通过阅读材料可知，令x 2=0, x-4=0, 可得零点值分别为-2和4。再通过零点值，把x的范围分成3段：x<-2, -2≤x<4, x≥4，分别判断出绝对值符号里面的算式的计算结果是正负的情况，然后去掉绝对值符号，再合并即可得出答案。

【解得】

（1） 令x 2=0, x-4=0, 解得x=-2，x=4。故|x 2|和|x-4|的零点值分别为-2和4。

（2） 当x<-2时，原式=-(x 2)-(x-4)=2-2x；

-2≤x<4时，原式=(x 2)-(x-4)=6；

x≥4时，原式=(x 2) (x-4)=2x-2。

综上所述，|x 2| |x-4|可化简为：

02 举一反三练习

1、|x 1| |x﹣2| |x﹣3|的值为________．

2、若 |x| 3=|x-3| ，则x的取值范围是________．

03 参考答案解析

1、【分析】

由于题中有多个绝对值符号，所以需要分类讨论，先令x 1=0, x-2=0, x-3=0, 解得x的值为-1,2,3，然后分段讨论：①当 x ≤ − 1 时，②当 − 1 < x ≤ 2 时，③当 2 < x ≤ 3 时，④当 x > 3 时，分别判断出绝对值符号里面的算式的计算结果是正负的情况，然后去掉绝对值符号，再合并即可得出答案。

【解答】

解：当 x≤-1 时，

当 -1<x≤2 时，

当 2<x≤3 时，

当 x>3 时，

综上所述，

的值为

．

2、【分析】

先令x=0,x-3=0，分别求点零点0和3，再分①当x≥3时,②当0＜x＜3时，③当x≤0时三类来讨论，分别根据绝对值的意义，一一去掉绝对值的符号，再解方程即可得出结论。

【解答】

①当x≥3时，原式可化为x＋3＝x－3，无解；

②当0＜x＜3时，原式可化为x＋3＝3－x，此时x＝0；

③当x≤0时，原式可化为－x＋3＝3－x，等式恒成立，

综上所述，则x≤0，故答案为x≤0.

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