常见的高数积分公式大全（法国数学竞赛题）

题一、化简((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴

分析题目分析题目，复杂的无理数化简，显然直接四次方展开，计算量太大，不是好的思路，这种我们显然需要转换思路，利用两个四次方底数的相互关系来凑配多项式组合的形式，以简化计算过程，方能高效率解题，据此分析，我们直接引入参数P何Q，设定，p=(√5 √3−√2)/√2，q=(√5−√3 √2)/√2

接着我们建立P何Q的强相互关系，首先求二元积的值，即，pq=(√5 √3−√2)/√2×(√5−√3 √2)/√2

可以看出分母是根号二的平方，分子刚好是一个平方差公式，展开后得到，pq=(5−(√3−√2)²)/2

继续展开分子的平方项次，刚好整数５抵消掉了，则最后算得pq=√6

接着计算p q代入P和Q的值，即得到，p q=(√5 √3−√2)/√2 (√5−√3 √2)/√2

同分母相加，分子相加即可，刚好根号3和根号二都抵消掉了，最后算得p q=√10

这样我们就得到了二元何的值，以及二元积的值，接下来便可以逐级升次求解高次代数式了，即原式，((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=p⁴ q⁴

直接凑二元平方和的完全平方式后得到，((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=(p² q²)²−2p²q²

同样的操作，继续对二元平方和凑二元何的完全平方式，即得到，((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=((p q)²−2pq)²−2p²q²

此时就可以代入二元何的值，以及二元积的值，即得到，((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=((√10)²−2√6)²−2(√6)²

整理后得到，((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=112−40√6

参考答案

#把地球的故事讲给宇宙#