微积分长方形面积的推导过程（微积分解说计算平行截面面积为已知的立体的体积）

对于一般的三维立体，建立空间中的直角坐标系以后，当x的坐标变化时，对应y轴方向，和z轴方向立体的边界，可以独立变化，这样的情况下，需要二重积分才能计算出立体的体积。

而旋转体的体积，不需要用到二重积分， 直接用一元函数的定积分就可以计算，

原因在于， 用垂直于 旋转轴的平面，去截取旋转体，

截面都是正圆，

而正圆的面积， 只要半径定了，就可以计算出来。

而旋转体 在 某一 x 点处的 截面圆 半径，是由 f(x) 表示的，

所以 旋转体计算公式中， 只需要对 含有x 这一个变量的函数积分就可以了。

有些立体，虽然不是旋转体，但是顺着某一直线，用垂直于直线的平面去截取立体，

如果截面积可以用只含有一个变量的函数来表示，

也可以用一元函数的定积分来计算其体积。

用上边这个公式来计算，

当x从a变化到b,用垂直于x轴的平面 截立体，截面积 用 A(x) 来表示，

那立体的体积，就用上边这个公式计算。

这个是更一般化的公式，旋转体的体积计算公式，是它的一种情形。

计算一个具体的例子

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积

平面截圆柱体

就是上边这个图了。

这个图中，蓝绿色的是圆柱面，用粉红色的平面去截它，粉红色的平面与坐标平面XOy的二面角夹角为 ，且粉红色平面经过圆柱底面的圆心，也就是坐标原点，

垂直的坐标轴当然是Z轴，

红色的是X轴

剩余一个坐标轴是Y轴

这样，底圆的方程为

这样顺着X轴，用垂直于X轴的平面截取这个立体，

截取到的截面就是一个直角三角形。

直角三角形的两条直角边的长度分别为y,以及y tan

根据底圆的方程，y应该等于

这样就可以计算出截面的面积，

再积分，就计算出立体的体积了。

计算过程如下图：

积分计算截圆柱体体积

这样一个复杂的立体，得出截面积随X变化的公式，就可以通过积分，计算出立体的体积了。

当然顺着y轴，z轴去截，截出来的平面图形和顺着x 轴的不一样，体积也是可以计算的。应该没有顺着x轴截取，计算起来方便。