机器学习数学知识点（机器学习数学基础之集合和函数）

• 集合，简称集，是数学中一个基本概念，是集合论的主要研究对象。关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
• 集合:“一堆东西”放在一起，称为集合 (set)，通常用大写字母表示A。
• 元素 :“一堆东西”里面的一个称之为元素 (element)，通常用小写字母表示a。

a属于A 写成a∈A

a不属于A 写成a∉A

• 描述方式:列举和描述，还有图像法和符号法

列举 = {1,2,3}

描述={∶ 是有理数}

• 子集:A的每一个元素都在B中，记为 ⊆

相等，记为 =

真子集 ⊆ 且 ≠ ，记为 ⊂

空集 ∅

• 基数集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集 。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集

• 集合运算

交:∩={∶ ∈且∈}

并:∪={∶ ∈或∈}

差:\B={∶ ∈且∉]

• 任意∀
• 存在∃
• 基数:集合中元素的个数称为集合的基数(又称为势)，记为||。
• 常见集合: 自然数 N、整数Z、有理数Q、实数R，复数C

• 确定性

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现 。

• 互异性

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次 。

• 无序性

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

• 区间 (a,b) [a,b] (a,b] [a,b)
• 邻域, 0(,)
• 数轴：实数集上的数和数轴上的点一一对应

• 上界:集合 ⊆ R，并且 ≠ ∅，如果存在 ∈ R，使得对于∀ ∈ ，有 ≤ ,则称有上界，并且说是的一个上界。
• 同理下界定义
• 上确界:设 ⊆ R是一个非空数集，如果 ∈ R满足(1) 是的一个上界(2) 对∀Ɛ > 0，存在′ ∈ 使得′ > − ，则称为的上确界， 记为 =
• 下确界: =
• 确界存在定理

非空有上界的实数集必然有上确界，非空有下界的实数集必然有下确界。

• 等势:集合A到集合B存在双射，称A与B等势，记为 ≈ 。特别地，称 与自然数集N等势的集合为可列集。
• Z≈N
• N≈Q
• (0，1) ≈ R

• 三角不等式 | |≤|| ||
• 伯努利(Bernoulli)不等式

• 算数-几何平均值不等式

• 映射:设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个 元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从 A到B的映射，记作f:A→B。其中b称为元素a在映射f下的象，记作:b=f(a); a称为b关于映射f的原象。也称A为原象集，B为象集。
• 单射(嵌入映射)
• 满射(到上映射)
• 双射(一一映射)

• 函数是数集到数集的映射，函数是发生在集合之间的一种对应关系
• 函数: 对于给定的集合 ⊆ R，如果存在一个对应法则，使得对于中的每一个数，在R中存在唯一的数与之对应，则称对应法则为 从到R的一个函数，记为f∶→R ⟼ = ()其中称为在的值，称为函数的定义域，数集{ ∶ ∈ } 称为函数f的值域，记为(); 称为自变量，称为因变量。

• 六类基本初等函数:

• 四则运算

• 复合运算 = 1 (2 ())
• 反函数 如果是双射，那么可逆，记为−1
• 基本初等函数经过有限次四则运算和复合所得到的函数称为初等函数。

• 符号函数

• 高斯(Gauss)取整函数 = []
• 狄利克雷(Dirichlet)函数

• 黎曼(Riemann)函数

设= 定义在上

• 有界性

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界

• 单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数

• 周期性

存在>0，使得对于∀∈，有( )=() ，称T是周期。 e.g.

• 连续性

设f是一个从实数集的子集射到 的函数：f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：f在点c上有定义。c是其中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f（x） 的极限都存在且等于f（c）。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。

• 奇偶性

X关于原点对称

设f(x)为一个实变量实值函数，若有f(-x)= - f(x)，则f(x)是奇函数

奇函数 = −(−) e.g.

设f(x)为一个实变量实值函数，若有f(x)= f(-x)，则f(x)是奇函数

偶函数 = − e.g.

奇函数的反函数也是奇函数

一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。

一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变

偶函数不可能是个双射映射