数学数列有几种方法（随便了解了解数学基础中的数列知识）

数列，在高中阶段可是折磨了我们好长时间，等到了大学的时候本以为即将摆脱，谁想我们那么喜爱数学咧，╰(*°▽°*)╯，所以我们迎来了高等数学。不止要学习学习数列，还要会求数列极限哟，那就跟着小编来先复习复习高中学过的数列知识吧。

数列是数学研究中一个重要的领域，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。这么拗口，其实就是一堆有顺序的数。那这一个一个的数都有一个高大上的名字，叫做这个数列的项，如果是排在第一位的自然就称为第一项喽，既然是排在第一位的嘛，自然还有其他称呼，比如比赛中第一名叫冠军，比赛获得第一名叫金奖，那数列的第一项通常也叫做首相(项)。那其他的项排在第几位就叫做第几项喽。数列通常用a(n)来表示。

在数列中，比较出名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。这对数列可是很有用的呢，除了会变化出各种习题之外，还是计算机专业拿来学习编程时练手的项目呢。

数列的函数理解

数列其实就是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

那既然数列是一种特殊的函数，那就可以用函数的观点来认识数列，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，主要有：列表法；图像法；解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。但是，数列有一般形式，数列的一般形式可以写成: a1, a2, a3, ..., a(n), a(n 1)...， 简记为{an}。

项

数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

用符号{a(n)}表示数列，不要看着很像集合，其实只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：

1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。

2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。

数列的分类

（1）有穷数列和无穷数列：

项数有限的数列为“有穷数列”，项数无限的数列为“无穷数列”。

（2）对于正项数列：（数列的各项都是正数的为正项数列）

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7；

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2；

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）；

（3）周期数列：各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；

（4）常数数列：各项相等的数列叫做常数数列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

公式

（1）通项公式：数列的第n项a(n)与项的序数n之间的关系可以用一个公式a(n)=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，比如: a(n)=(-1)^(n 1) 1 。

数列通项公式的特点：

a. 有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；

b.有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

（2）递推公式：如果数列{a(n)}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点：

a. 有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。

b. 有些数列没有递推公式，即使有递推公式不一定有有通项公式。

等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，前n项和用S(n)表示。等差数列的通项公式为a(n)=a1 (n-1) * d, 其中，n=1时, a1=s1, n≥2时，a(n) = s(n) - s(n-1)

等差中项: 由三个数a，A，b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项。满足关系：A=(a b)÷2。

前n项和的推导，使用倒序相加法推导。

所以S(n)=(n(a1 a(n))) / 2

也可以推导出以下公式：

a1=2S(n) / n-a(n)

a(n)=2S(n) / n-a1

S(2n-1)=(2n-1) * a(n)

S(2n 1)=(2n 1)a(n 1)

性质:

（1）任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m) (n-m)d，它可以看作等差数列广义的通项公式。

（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1 a(n)=a2 a(n-1)=a3 a(n-2)=…=a(k) a(n-k 1)，k∈N*。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m n=p q，则有a(m) a(n)=a(p) a(q)。

（4）对任意的k∈N*，有S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(nk)-S((n-1)k)…成等差数列。

应用：日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。银行金融业务中也有所涉及，比如按揭货款的计算等等，︿(￣︶￣)︿还有一个重大用处就是考公务员和考试喽。

等比数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。其通项公为a(n)=a1 * q^(n - 1), 首相为a1, 公比为q。

等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。有如下关系:

G²=a * b, G = ±√(a * b)

两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以是a、G、b三数成等比数列的必要不充分条件。

前n项和推导如下：

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为：S(n) = n * a1

前n项和与通项的关系： 当n=1的时候 a(n)=a1=s1, 当n>1的时候 a(n) = S(n) - S(n - 1)

性质

（1）若 m、n、p、q∈N*，且m n=p q，则 a(m) * a(n) = a(p) * a(q)

（2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1 * a(n) = a2 * a(n-1) =...=a(k) * a(n-k 1), k ∈{1, 2, ... n}

（4）等比中项：q、r、p成等差数列，则 a(q) * a(p) = a²(r) , a(r)则为a(p), a(q)的等比中项。

应用: 等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1 利率)^存期。

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