阿贝尔恒等式计算方法（用故事讲的阿贝尔）

先给公式：

如果你觉得看不懂，完全没问题，这篇文章将会用一个故事给你讲明白这个公式！

这一公式在高中数学竞赛中有着广泛的用处，而在数学分析中会有其在实数上的推广——分部积分。

第一次见到这公式大概是在高一校外竞赛课，老师以为我们都会，直接用了，下边同学一脸懵逼，回过神来已经过去了，只好问知乎，当时见到这玩意的第一反应是这™是什么。可以想象连求和都用不明白的我们，见到俩求和符号的心情。。。

好了，陈年旧事不提了，说正题。这玩意儿怎么记忆呢？且听我来讲个故事：

话说你是一位外卖员，你要给某一栋有n层的楼房上的客户送外卖，不巧的是，每一层客户都有一份外卖。为了赶时间，多挣钱，你该如何合理规划才能将时间效益最大化呢？

（注：以下内容中你一次性拿了所有外卖进楼送外卖，不考虑外卖太多拿不动，然后跑来跑去地回车里取外卖的情况。）

第一种方法是上一层楼送一家外卖，但问题是，如果这栋楼楼层太高，要爬这么多层，开始还好说，到后面肯定变慢了，爬楼还这么累，谁愿意？如果坐电梯，确实不累了，但是要等电梯，浪费时间。

第二种方法是你先坐电梯到第n层楼，然后送一户外卖下一层楼，这样就可以走楼梯下楼了，既避免等电梯的时间，又不累（相比于爬楼梯）。

看到这里你不禁会问，跟我扯这些，和理解记忆这公式有什么关系？

别急！

其实，Abel公式就可以看成这个过程（第二种送外卖方式）的数学化公式！

如果我把第k层客户记为 ，你在第k层所携带的外卖总数记为 ,其中可以看作第k层客户的外卖，而 表示你把第j层楼客户的外卖送到第i层客户手里。这个类比很重要，一定要记住才能理解后面的内容！

（虽然把第j层外卖送给第i层是会被扣工资的，但这不是最终结果，只是中间过程）。

那么公式左边 就表示你已经把这n层楼客户的外卖都准确送到了。

再来看右边第一项 不就表示你把所有外卖送给了第n层楼的客户吗，但是如果你就这样就结束了，大概率会丢掉工作。

所以你要把不属于第n层楼客户的外卖要回来，要回来是送过去的逆过程，送对应加法，要回来对应减法。体现在数学公式中就是减掉 （这玩意儿表示送给第n层楼客户的一些外卖，哪些外卖呢？前n-1层客户的外卖）。这一步在公式中的体现就是

右边第二项在第一个求和中k取n-1，然后对于 ，我只考虑 ，把和 乘起来的那一项

到这里没问题吧？

好！然后送完第n层，你该下楼了，现在你手里有 （即1到n-1层的外卖），下到n-1层楼，把这些外卖都送给这位客户。体现在公式中就是

右边第二项在第一个求和中k取n-1，但是此时 中我考虑 ，把 和 乘起来的那一项

这样，你已经成功送完了第n层的外卖，来到了第n-1层。当然，我们也分析完了在第一个求和下k取n-1的情况。

那么以此类推，k取n-2表示你送完第n层和第n-1层的外卖，来到第n-2层；k取n-3表示你送完第n、n-1、n-2层的外卖，来到第n-3层......最终，k取1，表示你送到了第一层，也就准确地送完了所有外卖！

这样对Abel公式是不是有了不一样的理解，所以我每次写这个公式的心路历程就是这样的：我要送外卖（此时写左边），先把所有外卖拿到最高层（此时写右边第一项），然后下楼，下到第n-1层、n-2层...1层（此时写第一个求和，上下标也就顺带记住了，上标是n-1，不是n，因为你不可能从某一层下到第n层），下楼过程我要带着第一层到第k层的所有外卖（此时写 ），下楼这一过程呢，是把刚刚我带的这些外卖从k 1层要过来，送给第k层（此时写 ）。

怎么样，现在是不是对求和公式的理解更深了，是不是更容易记住这个公式了