初中数学实数题型讲解（初中数学专题-实数考点与应对策略）

在之前的几周，我们和大家说了，初中数学选择题和填空题的提分方法和秒杀技巧，从本周开始，我们将以专题形式和大家介绍，中考数学的重点考点。

本周我们说实数，重点和大家说，实数的五个考点和提分方法。

考点一、实数的概念和分类

实数：有理数和无理数统称实数。

1、实数的分类

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：

开方开不尽的数，如√7；

有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含；有π的数，如π

8等；

有特定结构的数，如0.1010010001…等；

某些三角函数，如sin60°。

考点二、倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数是一对数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数。正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4. 实数与数轴上点的关系

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

考点三、平方根、算数平方根、立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个正数有两个平方根，他们互为相反数;零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记作“±√a”。

2、算术平方根

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为√a,读作“根号a”，a叫做被开方数。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

3、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

求差比较：设a、b是实数，a-b>0，a>b；a-b=0，a=b；a-b<0，a<b.

求商比较法：设a、b是两正实数，

绝对值比较法：设a、b是两负实数，

。

平方法：设a、b是两负实数，则

。

考点五、实数的运算

1、加法交换律：a b=b a

2、加法结合律：(a b) c=a (b c)

3、乘法交换律：ab=ba

4、乘法结合律：(ab)c=a(bc)

5、乘法对加法的分配律：a(b b)=ab ac

注意事项：

1、先化简，后合并

例1、计算

。

分析：当被开方数含有能开方开得尽的因数时，应先开方；当被开方数是分数或小数时，应化去根号内的分母。

解：

注意：开平方一般涉及两个方面：一是被开方数是整数，此时要把被开方数分解成一个平方数与一个非平方数的积，将平方数进行开方；二是被开方数是分数，要把分子、分母乘以一个适当的数，把分母变成平方数，然后再把分母进行开方，当被开方数是小数时，一般要化成分式。

2、若被开方数是带分数，要先化为假分数，再开方

例2、计算

分析：本题由于被开方数是带分数，在计算时需要把带分数先化为假分数，再进行开方运算。

解：

注意：本题容易将带分数的开方运算误认为是把整数部分和分数部分分别开方，这显然是不对的，如

。

3、当被开方数是和或差的形式时，要化简后开方

例3、计算

分析：观察可知被开方数是和的形式，此时应先计算

，得169，然后再将169开方。

解：

。

注意：本题易出现把和的算术平方根与算术平方根的和弄混，而出现“

”的错误。应注意避免此类错误的出现。

4、根号内的数与根号外的数不能直接约分

例4、计算

分析：本题应先进行开方运算，再进行除法运算。

解：

。

注意：本题容易出现把根号内的被开方数与根号外的因数直接约分而出现下面的错误：

,