电磁学与电磁波（神奇的电磁世界）

电动力学(电流和磁场)

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在这一期的电动力学专题中，我们将会探索电流和磁场，与电荷和电场相比，它们有什么不同有什么类似，它们又有什么性质呢？接下来，让我们一起开始一场全新的探索吧！

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电荷守恒定律

通过一根导线的电流，我们通常用通过导线截面的总电流I来描述。但电流强度是宏观物理量，对于电荷运动的描述十分粗糙：带电粒子在空间各点的运动速度快慢可能不同，电流强度没有描述其运动速度大小的分布；电流强度是标量，带电粒子运动方向在空间各点可能不同，电流强度没有描述带运动方向的差异。

很多时候，我们不仅想知道总电流，我们更想知道总电流在导体内是怎样分布的。因此我们引入了一个新的物理量——电荷密度。

如图，设dS为某曲面上到一个面元，它在该点上的电流方向有夹角θ，定义电流密度J，它的方向沿着该点上的电流方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电荷量，由这些条件，我们即可求出通过面元dS的dI为：

通过任一曲面S的总电流I为：

假如电流由一种电荷密度为ρ的带电粒子构成，平均速度为v，则电流密度为：

加入电流是由多种密度、平均速度不同的带电粒子构成，则电流密度有：

电流密度是对空间点定义的，而电流强度是对于一有限面定义的；电流密度是矢量，方向与该点正电荷速度方向一致。

接下来我们来看电流守恒定律：实验表明电荷是守恒的，即电荷不能消灭及产生，而只能发生转移。

假如我们在一个空间中用封闭曲面S包裹出一个确定的区域V。如果有电荷通过封闭曲面S从区域V中流出，那单位时间流出的电流显然是：

那么根据电流守恒定律我们可以知道，单位时间内通过封闭曲面S流出电荷量，应该和区域V中单位时间减少的电荷量相当，即：

等式右边即为区域V中单位时间减少的电荷量。这是电荷守恒定律的积分形式，我们可以利用高斯公式，这样就能得到：

结合两式，显然，动量守恒定律的微分形式为：

这一等式也被称为电流连续性方程。

在稳恒电流的情况下，电荷量等物理量不再随时间发生变化，因此我们就会得到：

这个式子说明稳恒电流的电流密度的散度为零，即稳恒电流的电流线是闭合无源的曲线。简而言之，稳恒电流只能在闭合回路中存在，一断电就没了。

而对于非稳恒的电流，我们则可以从电流连续性方程中看出，它的电流线的汇聚和发散会伴随着电荷的积累。

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安培定律和毕奥-萨伐尔定律

通过实验我们发现，电流和电流之间也会有力的作用。那么这个力该如何计算呢？物理学家安培通过实验得出在真空中的两个电流元之间的作用力为：

从中我们可以发现：电流元之间的相互作用力也和电荷之间的相互作用力一样，服从平方反比律。

同时我们也发现一个问题，由于是叉乘，电流元之间的相互作用力不满足牛顿的作用力与反作用力定律，即F12和F21是不相等的。实际上，这一问题的出现是因为不可能存在稳定的电流元，为此我们来看一看稳恒情况下的闭合回路。

对于图中所示闭合回路之间的作用力，我们有：

根据矢量运算公式A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)，我们可以得到：

从中，我们可以看到闭合回路之间的相互作用力满足牛顿第三定律。

而就像两个电荷之间的作用力，电流之间的作用力也需要有“场”来传递，即磁场。电流激发磁场，而当另一电流处于该磁场中时，就受到磁场对它的作用力，对电流的作用力是磁场的特征性质，我们就用这一性质来描述磁场。通过实验我们发现，一个电流元Idl在磁场中所受的作用力可以表示为：

矢量B是电流元所在点上磁场的性质,称为磁感应强度。

恒定电流激发的磁场由毕奥-萨伐尔定律给出。记J(x')为源点x'上的电流密度，r为由x'到场点x的矢径，则场点上的磁感应强度为：

其中μ0为真空中磁导率。

假如电流集中在细导线上，用dl表示回路L上的线元，那么我们就能写出细导线上恒定电流激发的磁场：

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磁场的散度

与电场类似，我们想要了解磁场更多的性质，我们必须要知道磁场的散度和旋度。这里我们先来讨论磁场的散度。

式中，A定义为为矢势：

由此我们可以得到：

我们在矢量分析02中推出过一个结论，矢量场旋度必为无源场，所以对于这个式子我们能直接得到：

从上述这个式子中我们可以得知：由电流激发的磁场都是无源的。那么是否存在一种与电荷对应的磁荷源呢？按照目前对于磁单极子(孤立的磁荷)的探索来说，并没有发现其存在的证据。因此，我们可以把这个式子当作磁场的一条基本规律。

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磁场的旋度

这里我们依旧要用到矢势A：

其中：

对于第一项来说，可以利用高斯公式将体积分转化为面积分，对于包围区域V'的闭合曲面S，并没有电流通过，所以面积分的结果为零；而第二项，对于稳恒电流来说，我没有：

因此，这一项积分结果也为零。

接下来我们计算∇²A：

上式的被积函数只可能在x=x'点不为零，因而体积分仅需对包围x点的小球积分。这时可取J(x')=J(x)，即可将其提出积分号外，对剩余部分进行积分：

因此，我们就有：

不过需要注意的是，我们在推导过程中利用稳恒电流的条件，显然这个式子只在稳恒电流条件下成立，而并非一般情况下的形式。

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下期预告

在初步了解了静电场和静磁场之后，在下一期中，我们将开始了解麦克斯韦方程组，了解每一个等式背后的含义是什么。

各位对电磁世界好奇的小伙伴，我们下期专题见啦，喜欢的话记得点一下关注哦！

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编 辑|笨笨

校 对|笨笨

审 核|笨笨

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