中考数学线段最值（线段型最值问题的求解三利器）

线段型最值问题是历年中考命题的热点，常在压轴题中出现，由于此类问题都是变化过程中，图形大小或形状是随动点的运动而变化的，学生很难把握变化图形的形状及其大小，故大多数学生遇到最值是"谈虎色变"不敢下手或无从下手，本文拟通过实例分析，一起探讨线段型最值问题的三种解题策略。

利器一：化斜线为垂线，利用垂线段最短求解

1．（2019秋•南丹县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE EF的最小值是_____．

【解析】：方法一：如图1所示，在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AB′E（SAS）．

∴BE＝B′E，∴B′F＝B′E EF＝BE EF，

∵垂线段最短，∴此时BE EF最短．

∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，∴B′F＝1/2AB′＝3．故答案为3．

方法二：如图2所示,在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H，

同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）,∴EG＝EF，∴BG＝BE EG＝BE EF，

当BG垂直于AC时最短，即BH的长最短，

∵AB＝6，∠BAC＝30°，∴BH＝3．故答案为3．

2．（2020•新抚区二模）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是_______．

【解析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BD＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用"边角边"证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，

此时∵∠BCH＝1/2×60°＝30°，CG＝1/2AB＝1/2×5＝2.5，

∴MG＝1/2CM＝1/2×2.5＝1.25，∴HN＝1.25，故答案为：1.25．

3．（2020•新抚区二模）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝5，AC＝2√2，D是BC边上的动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接EC．

（1）如图a，求证：CE⊥BC；

（2）连接ED，M为AC的中点，N为ED的中点，连接MN，如图b．

①写出DE、AC，MN三条线段的数量关系，并说明理由；

②在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，M，E两点之间的距离最小？最小值是_____，请直接写出结果．

【解析】（1）如图a，过点A作AH⊥AC交BC于H，由"SAS"可证△HAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠AHD＝45°，可得结论；

（2）①如图b，连接AN，CN，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得AN＝CN＝DN＝EN＝1/2DE，MN⊥AC，AM＝CM＝1/2AC，由勾股定理可得结论, MN² 1/4AC²＝1/4DE²;

②根据垂线段最短即可解决问题．如图c中，

由（1）可知∠ECB＝90°，∴CE⊥BC，

∴当ME⊥EC时，ME的值最小，

在Rt△ABC中，∵AH＝AC＝2√2，∴HC＝4，

∵AM＝MC＝√2，

在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，

∴EC＝EM＝1，由（1）可知：△HAD≌△CAE，∴HD＝EC＝1，

∴CD＝4﹣1＝3，

∴BD＝5﹣3＝2，∴当BD＝2时，EM的值最小，最小值为1。

方法归纳：

1、由上述例题可以发现"斜大于直"问题考察题型较为广泛，可以是单一线段最值，也可以是多条线段最值，还能是含系数的线段和的最值问题，无论是哪一种题型，都可以利用转化思想对问题进行巧妙处理。

1）单线段的最值常见于直线型的点到直线的距离，利用"隐点"和"隐线"加大题目难度

2）多线段和的最值始终遵循"同化异，折化直"的解题思路，如遇线段系数，通过三角函数进行转化

2、始终抓住"斜大于直"进行解题

利器二：利用将军饮马模型，化折线为直线

4．（2019秋•恩施市期末）如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD DE的最小值是______．

【解析】：作BF⊥AC于点F，如图所示，

∵在△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，∠BFA＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BF，∴BF＝8，

∵AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB的动点，F

∴BD DE的最小值是BF，∴BD DE＝8，故答案为：8．

5．（2019秋•平谷区期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE PC的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．√3 D．2√3

【解析】根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P，此时PB＝PC，即可得到PE PC的最小值即为BE的长．如图，连接BE交AD于点P′，

∵，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，

∴AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，

∴P′B＝P′C，P′E P′C＝P′E P′B＝BE，根据两点之间线段最短，点P在点P′时，PE PC有最小值，最小值即为BE的长．利用勾股定理可求得BE＝√3，所以P′E P′C的最小值为√3．故选：C．

6．（2019秋•碑林区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD．连接AC，若AC＝5√2，则CD CB的最小值为_____．

【解析】根据旋转的性质将三角形ADC绕点A旋转90度到三角形ABE，使DC和BC在一条直线上，根据等腰直角三角形的性质即可求解．如图

易得△ABE≌△ADC，∴AE＝AC＝5√2，BE＝DC，∠EAB＝∠CAD，

∴∠EAC＝∠BAD＝90°，∴利用勾股定理可求得EC＝10，∴CD CB＝CB BE＝EC＝10．

7．（2018秋•碑林区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，∠DAC＝30°，AC＝2，设Q，R分别是AB、AD上的动点，则△CQR的周长最小值是______．

【解析】：如图所示：

分别作点C关于AB、AD的对称点E、F，连接EF与AB、AD交于点Q、R，

此时△CQR的周长最小．根据对称性得：CR＝ER，CQ＝FQ，∴CR CQ QR＝ER FQ QR＝EF，∴△CQR的周长即为EF的长．

在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AC＝2，∴CD＝1，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴BC＝AC•sin45°＝√2,

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠CDB＝∠CAB＝45°，

∠CBD＝∠CAD＝30°，在△CBD中，作CH⊥DB于H，

8．（2019秋•黄石港区校级期中）如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP PQ QN最小时，则β﹣α的值为______．

【解析】：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP PQ QN最小，

∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，

∴∠QPN＝1/2（180°﹣α）＝∠AOB ∠MQP＝20° 1/2（180°﹣β），

∴180°﹣α＝40° （180°﹣β），∴β﹣α＝40°．

方法归纳：求有关折线最小问题，通常情况下都是将折线问题化为直线，利用"两点之间线段最短"进行求解。

利器三：借助方程或函数知识，化几何为代数

方法归纳：将斜线转化成直线，或将折线转化成直线，通常要用几何变换，需要学生有比较敏锐的眼光，一般学生很难想到，这时不妨将几何问题代数化，将其转化成函数的最值问题或一元二次方程根的存在性问题。

在解决有关线段和的最小值和最大值的问题的时候，我们采用的数学思想方法是“化折为直”，有时需要通过对称变换作转化，然后根据“两点之间线段最短”这个知识来解决问题，这是将军饮马类问题的解题思想，将军饮马类问题根据定点个数和动点个数可以分为以下几类：一动点两定点（将军饮马原型），一定点两动点，两定点两动点，其中包括两动点之间距离不变的问题，我们称之为沿河饮马问题，统统这些问题的解题策略都是：作轴对称变换，然后化折为直，利用两点之间线段最短来解决问题。

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