全等三角形判定与证明求边长度（证明全等三角形）

在初中几何里，全等三角形的证明无疑是重中之重。证明的方法是对两个三角形，找到对应的边或角相等的条件，判定两个三角形形状完全一致（通过平移/旋转/翻折能重合）。

一般而言需要三个条件才能判定两个三角形全等。哪三个条件呢？我们用A (Augular)表示角，用S (Side)表示边。

AAA首先是不行的。由于三角形的内角和一定是180°，三个角对应相等，和两个角对应相等其实是一回事，也即AA就是AAA。但是AAA其实只能确定两个三角形是相似的，而不是全等。因为如果把一个三角形的三边长成比例地扩大或缩小，这个三角形的三个角都能保持大小不变。

但是SSS是能证到的。不同于四边形，三角形具有稳定性。如果你用三根木条相连钉成一个三角形，它是无法拉动的，形状是确定的。但是四根木条钉成一个四边形的话，却可以拉动成各种不同形状。

在有两个角的情况下，还需要一个边。这个边可以夹在两个角之间，也即ASA；也可以是其中一个角的对边，那就是AAS。这两种情况下都可以推到全等。事实上，只要有两角一边对应相等，就能证到全等。

如果题目里给出了一个边、一个角对应相等，要再添加一个条件证明全等的话，添加一个对应角相等的条件是一定没错的。

如果是两个边和一个角对应相等呢？照理来说也有两种情况：这个角夹在两边之间（或者说这两条边是角的邻边），即SAS；或者角是其中一边的对角，即SSA。

SAS是可以证到全等的。但SSA却不能。这也是考试时常考到的一个点。

通过作图我们可以理解这一点。

图1

在图1中，△ABD和△ABC满足∠B=∠B，AB=AB，AD=AC，但是这两个三角形显然不全等。

关键就在于这个对应相等的角（图1中∠B）的对边长确定的情况下，仍然可以在射线BC上有两个落点。

如果题目里给出了一个边、一个角对应相等（这个边是角的一条邻边），要再添加一个条件证明全等的话，可以添加这个角的另一条邻边，但一定不要添加这个角的对边！

所以综合起来看，一共有SSS、SAS、AAS、ASA四种方法可以证明两个三角形全等。

直角三角形也是三角形，上面的SSS、SAS、AAS、ASA四种证明方法都可以用，直角本身就可以作为一个A的条件来用。

那为什么直角三角形还要单独拎出来一个HL（一条直角边和斜边对应相等）呢？

对于这个问题，我们想一想，一个直角、一条直角边、还有斜边，相当于一个角、两条边的条件。因为直角是斜边的对边，所以这就相当于我们上面说的SSA！

只不过因为在图1中如果∠B=90°，以A为圆心、斜边长为半径作出的C和D两个点就会分布在AB的左侧和右侧两边，关于直线AB轴对称。得到的两个直角三角形形状还是相同的。所以在直角三角形这种特殊情况下，SSA里的A是直角的情况下，SSA是成立的。

从另一个角度来理解，直角三角形的三边长符合勾股定理，知道其中任意两边长，第三边长也就随之确定，所以对于直角三角形来说，SSS、SAS、SSA能相互映证。

所以在直角三角形的证明里，单独提出一个HL。对于直角三角形的证明，就有SSS、SAS（两条直角边）、AAS、ASA加上HL五种证明方法。