根号x的不定积分计算过程（公式eix）

一、如何证明公式e＾（ix）＝cosx＋isinx？

我们先设f（x）＝cosx＋isinx，

然后通过复数运算法则知：

f（x）f（y）

＝（cosx＋isinx）（cosy＋isiny）

＝（cosxcosy-sinxsiny）＋i（sinxcosy＋cosxsiny）

＝cos（x＋y）＋isin（x＋y）

＝f（x＋y）

即f（x）f（y）＝f（x＋y）

又∵f（0）＝1，f＇（0）＝i，

∴f（x＋△x）-f（x）

＝f（x）f（△x）-f（x）

＝f（x）（f（△x）-f（0））

两边除以△x并取△x→0的极限得：

f＇（x）＝f（x）f＇（0）

f＇（x）＝if（x）

f＇（x）／f（x）＝i

两边取区间（0，x）上的定积分，运算可得：

Lnf（x）＝ix，

∴f（x）＝e＾（ix），

即e＾（ix）＝cosx＋isinx公式成立。

二、上述结论可直接推出三角形函数的另一种表达式

∵e＾（ix）＝cosx＋isinx

∴e＾（-ix）＝cosx-isinx

两式加减可解出sinx，cosx：

sinx＝（e＾（ix）-e＾（-ix））／（2i），

cosx＝（e＾（ix）＋e＾（-ix））／2。

附图：