古希腊数学对后世数学的影响（数与数学哲学古希腊）

数学作为一种文化系统能陶冶人的美感，提高理性的审美能力，正是这种能力成为人们探索宇宙奥妙和揭示其规律的重要手段。数学基础是一个非常古老的问题，自古希腊以来，数学家们就一直在为数学寻找一个坚实可靠的基础。数学是人类思维的重要表达形式，它以高度的抽象化和严密的逻辑推理著称，标志着人类认识世界的水平。数学是科学的皇后，离开了数学，自然科学就是不结果实的花，信度和效度都将遭遇严重质疑。然而一直以来，作为数学中基础问题的实在论与反实在论之间的争论不绝于耳，历久弥新，直接关系到数学是否具有客观性、确定性和真理性。

传统认为，数学完全是一个纯粹理性的事业。但如果数学只是一个心智的发明物，为什么数学在实践上会有效？如果它被化归为纯粹的逻辑关系，那么从某种意义上来说，数学不过是建立在同义反复的无足轻重的事情之上。近代英国哲学家、经济学家和逻辑学家密尔（John Stuart Mill）指出：“所有的科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数——所有科学连同它的理想和成就统统都是如此。很难给数学下一个一劳永逸的定义，因为人们所处的数学发展的历史阶段不同，有着不同的文化背景、知识范式和视角，对于数学的理解也就不尽相同。”

什么是数？罗素认为，“在进行数的定义时，首先须将我们研究的第一步辨析明白。许多哲学尝试作出数的定义，实际上却去定义为许多事物所形成的复合，这是件完成不相干的事”。譬如，一组3个人是3的实例，3绝不同于张三、李四和王五组成的3个人的组合。“我们可以继续定义一般的数为：由于相似关系而集合在一起的任一类；第二种是彼此相似而集合在一起的任一类。或者更为简单的：所谓的数就是某一个类的数。”

数学是研究事物的量及其具体关系的规则；而数学哲学是研究数学发生、发展的一般规律；哲学则是研究自然、社会和思维的普遍规律。数学哲学作为数学与哲学的交叉学科，它处于数学与哲学的中间位置。数学哲学研究数学的对象、性质和方法的本体论、认识论和方法论问题，从总体上把握数学发生、发展的一般规律。所以，“哲学、数学哲学和数学三者之间的关系是普遍、一般和特殊的关系。因此，数学就是数学哲学研究的基础和根据。从这个意义上来说，没有数学就没有数学哲学，或者说，没有数学的数学哲学是空洞的说教”。

数学哲学作为一门独立的学科，直到19世纪中叶才真正建立起来。不少数学哲学的著作花费大量篇幅给数下定义，希望回答“什么是数”这个问题。由于数学始终在发展，再加上各种流派、研究方向的不同，各个时期的数学家所给出的答案都不一样。谈及数学哲学，言必及古希腊数学哲学观。

古希腊数学哲学观可以粗略地分为毕达哥拉斯-柏拉图数学哲学观及亚里士多德数学哲学观。在古希腊数学范式的形成过程中，毕达哥拉斯（Pythagoras）学派起着极其重要的作用，因为他们最早提出了数学哲学思想。毕达哥拉斯学派首先把数作为抽象的对象加以研究，毕达哥拉斯本人在寻找万物的本质时提出了数本原说：数不是某种物质形态，数是永远感觉不到的。如果有人伸出5个手指头说：这不是5吗？拿出6支笔说：这不是6吗？那么这些数字只是我们抽象出来的符号，是表征5的符号，它并不是5本身。万事万物都有数量关系，但是要从万事万物的关系中抽象出1、2、3、4、5…这些数字是需要很长时间的。当人们能从众多的事物中抽象出不同的数的时候，这就是思想的飞跃了。数量是通过抽象思维把握的，各种自然物质都具有数量关系，这个数量关系只能在思维中才能把握。因此，“万物皆数”实际上是一种数学实在论观。毕达哥拉斯学派这种“万物皆数”的观点对后世的数学哲学思想产生了深远的影响。

古希腊的数学哲学观被毕达哥拉斯以一种抽象的语言表达为数学的理念。继毕达哥拉斯之后，在古希腊数学哲学观的形成过程中，发挥重要作用的人物是柏拉图。柏拉图进一步把数的抽象性加以深化，把数学作为一种完美的、理想的、绝对的、先验的知识和真理。柏拉图认为，数学研究的对象是抽象的，但却是客观存在的，而且它们不依赖于时间、空间和人的思维而永恒存在。数学家提出的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述。

亚里士多德虽然是柏拉图的学生，也从柏拉图那里继承了许多观点，但他对现实世界与数学之间关系的探究却有着不同的看法。亚里士多德认为，真正的知识是从感性的经验中通过直观和抽象而获得的，这种抽象是不能独立于人的思维而存在的。他认为数并非属于理念世界，而是来自现实世界，他在对学科进行分类时，认为数学是理论科学。

柏拉图的大理石雕像

唯名论哲学思想产生于中世纪，唯名论中比较极端的观点是认为数只不过是符号，是一种名称，甚至是一种空气的波动。这一观点的主要代表人物是洛色林（Roscelinus）。唯名论者认为客观存在的事物只有具体个别的事物，即这匹马、那棵树、张三、李四等，而抽象出来的共相概念只不过是一个记号或标记而已。

在中世纪，英国实验科学的先驱罗杰·培根（Roger Bacon）对数学的理解是矛盾的。一方面，他认为对数学真理的理解是天赋的；另一方面，他认为数学对象是由感觉的复合产生的，数学的证明总得有与它相对应的经验。

罗杰·培根

到了近代，伴随着科学革命的步伐，数学的价值得到重新确认。美国数学史家克莱因（M.Kline）指出，在当时“数学是唯一被大家公认的真理体系。数学知识是确定无疑的，它给人们在沼泽地上提供了一个稳当的立足点；人们又把寻求真理的努力引向了数学”。这促使数学研究获得了重大发展，也促使人们开始重新进行数的本性的思考。法国哲学家、数学家笛卡儿（Rene Descartes）认为数学是一门理性演绎科学，是研究顺序和度量的学科；德国哲学家、数学家莱布尼茨（G. W. Leibniz）认为数学知识是先验的和必然的知识。

之后，康德（Immanuel Kant）的数学哲学思想认为，人如何才能掌握数学知识呢？从最根本来说，数学知识都是先天综合判断。首先数是独立于感觉经验的，因此数是先天的；其次数不能由概念分析得来，因此它又是综合的，要认知数学命题，就必须运用感性的两种先天直观形式，即时间和空间。因为数是一个接一个出现的，有先后顺序。而空间概念是关于事物形状的基本经验。因此，康德认为，数是人为经验总结创造出来的，人也要靠自己的先天直观形式才能把握数学知识。

到了19世纪末20世纪初，集合论悖论的出现引发了数学基础的第三次危机，人们又开始了对数的本性的重新思考。1890～1940年的这50年，可以被看成数学哲学发展的黄金时期。在这一时期，弗雷格、罗素、布劳威尔和希尔伯特等围绕数学基础问题进行了系统和深入的研究，并产生了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学学派，从而为数学哲学的研究开拓了一个崭新的时代，其影响远远地超出了数学范围。特别是，基础主义的数学哲学曾对维也纳学派的科学哲学研究产生了十分重要的影响，而后者曾在科学哲学的领域长期占据着主导地位。

罗素认为数学是逻辑的延展，因此他把数学定义为我们不知道它说的是什么，也不知道其为真还是为假。直觉主义者认为数学独立于物质世界，它是纯粹心灵直觉的产物。“形式主义者则把数学归结为某种形式符号，一种抽去具体内容的符号系统，数学的真理性就在于符号系统中的无矛盾性。”这三大学派都不同程度地影响了维特根斯坦的数学哲学观。

一般而言，数学哲学研究可分为本体论（ontology）问题和认识论（epistemology）问题。数学的研究对象是什么，一般是指本体论问题。数学对象与科学对象之间的关系或者说我们如何能研究和认识数学，这些是认识论问题。而在弗雷格之后兴起的英美分析哲学产生了所谓的语言哲学转向，把之前的本体论和认识论问题也归之于语言问题来解释，认为以前把语言当成一种工具，而现代哲学问题最终都是用语言或概念来表达的，哲学的混乱也是由语言的不明确所造成的。数学哲学研究数学的本体论、认识论与意义问题，同时也包括一些其他的相关问题，如数学证明的客观性问题、数学知识的真理性问题、数学公理或证明的先天性问题等。

数学哲学主要是指基础主义的数学哲学。所谓数学的经验性，就其原始的意义而言，即是对数学与其他自然科学相似性（similarity）的确认。这一认识事实上构成了新方向上所有工作的共同出发点。关于数学经验性的断言显然正是对传统观念的直接否定，即数学知识不应被看成无可怀疑的绝对真理，数学的发展也并非数学真理在数量上的简单积累。事实上，人们曾从各种不同的角度对数学与自然科学的相似性进行了论证。如果说数学与其他自然科学一样，最终都应被看成人类的一种创造性活动，并构成了整个人类文化的一个有机组成部分，那么，数学的发展无疑就是一个包含有猜想与反驳、错误与尝试的复杂过程，而且数学的内涵与改变最终是由我们的实际利益与其他科学的认识论目标所决定的。

在《维特根斯坦与维也纳学派》中，维特根斯坦也讨论了“什么是数”。他认为，定义是路标，它们指明了通向证实的途径。定义解释了符号在命题中的使用，也解释了命题的意义。定义是一种转换规则，它说明怎样从一个命题转换为其他命题。说明一个数就是去说明多少，而不是说明等量。我们所具有的是一条关于建构一系列记号的法则，而且正是这个法则，使得我们能从对一个数的符号的说明中得出所有其前面数的符号，使我们能重建整个系列。“数是一种形式，数的表达是一幅图画，它出现在命题中。数学的东西在哪里都是相同的，描绘数的方法就是描画法，数在记号中显示自身。去定义一个数可能意味着两种不同的东西。如果认为，去定义5，粗略地说来就是去说明一个关于多个类的类，那么回答肯定是：在这种意义上，5是不可定义的。但是，如果根据一个定义，算术的定义，5=3 2。同时，3=2 1，2=1 1，那么5当然也是可以被定义的。数词是一种与概念完全不同的记号表示法。”

德国著名的数学家柯朗（R. Courant）指出，“数学哲学是作为人类智慧的一种结晶，反映了人们的意念与思考”。拉卡托斯（I.Lakatos）认为，“数学哲学是来自经验的，对数学本性的理解离不开对经验和实践的理解”。

本文摘编自《维特根斯坦数学哲学思想研究》，标题和内容有调整。内容和标题有调整。科学创造未来，人文温暖世界。在科技引领发展的时代，与您共同关注科技史、科技哲学、科技前沿与科学传播，关注人类社会的可持续发展。科学人文在线，创造有价值的阅读！欢迎关注、点赞、留言、转发、参与赠书活动，联系邮箱：houjunlin@mail.sciencep.com。

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维特根斯坦的数学哲学思想在学界一直充满争议，他的数学哲学思想分为早、中、晚期，但是他的早期思想与晚期思想是相互对立的；此外，他对数学基础三大学派的批判及对哥德尔不完备性定理的评论，更是褒贬不一。本书系统讨论了维特根斯坦的数学哲学思想，在早期，他遵循数学哲学的逻辑原子主义；在中期，他提倡数学哲学的可证实性原则；在后期，他主张数学是基于人们生活形式的一种实践活动。

本书适合外国哲学及科学哲学专业的师生、研究人员及对哲学感兴趣的读者。