数学曲率与曲率半径（曲率的意义是什么）

我今天给大家讲二维曲率，二维曲率相当有趣（以后简称曲率），它和大家想象的时空曲率有所差距，却又是理解时空曲率的基础。

那么大家就开门见山地问了：那你说说，什么是二维曲率，这种曲率的意义又是什么呢？

在讲曲率是什么之前，我先带领大家看一些我们生活中常见的东西：

请看下图，你说道：这不就是两条直线嘛。

接着。我们再看这条曲线：

我相信，你此时的脑海里已经将曲率，直线，曲线这三者联系起来了。你不由自主地猜想到：“我觉得直线的曲率是0，曲线的曲率不是0。曲线曲线，自然有曲率了，而且应该不是0.”

没错，你这样想完全没问题，因为我们的逻辑几乎都是从具体到抽象的，而反过来就难以理解了，我们的大科学家们为了描述自然界中的曲直现象，因此不得不定义出某种新的概念或是发明新的数学方法来。如果我们生在他们那个知识贫瘠的年代，也一定会像他们一样，想当然地定义和运算某些新发现的事物。

高斯

请仔细看下图，曲线的弯曲程度在每个点上都是不同的！有的地方弯曲的明显感觉厉害，有的地方明显就没那么厉害了，我们想当然地会说：弯曲大的地方曲率会大，弯曲一般的地方曲率则小。

那么，大数学家高斯就说了：“我要定量分析曲率，我要自己发明描述曲率的数学工具，定义自然界曲率的数学规则，而不是定性地用“大”或者“小”描述它。”

他是怎么做的呢？我们引入曲率圆和曲率半径的概念：

曲率K用哪个公式算呢？它是由y=f（x）的一阶导数和二阶导数组合而成的公式，如果你不懂导数，请在笔者空间看讲导数的那一篇文章。

注意，我们现在研究的曲率只是二维平面的曲率，而未来要讲的三维曲率，四维曲率（黎曼曲率）一个比一个复杂。

黑尖尖越长，表明该点的曲率越大

曲率半径又是什么意思呢？它等于曲率的倒数：

曲率圆越大，曲率半径越大，曲率反而越小，那一点处越不显得“弯”。

还是老办法，讲了这么多不管用的，我还是给大家做个实验让大家“看”见数学吧：现在我们研究一下y=x^2这条抛物线在各点处的曲率是如何变化的。

若：

这个曲率图像长什么样子呢？笔者用数学软件给大家画出来了：

这就是y=x^2的曲率变化，我们发现，它在x=0的时候曲率是最大的，曲率的值是2，之后两边的曲率就越来越小了，曲率越小，长得越像直线。曲率越大，长得越像圆。

哦，多么有趣的问题，曲率越大的东西“长得越圆，越弯”，那么圆的曲率是多少呢？

没错，你没有看错，圆的曲率就是它本身的半径R分之一:

半径越大的圆，它的曲率越小，是不是很奇怪呢？

二维曲率的故事就暂且告一段落了，感谢大家抽空阅读~

理查德.费曼