函数奇偶性和周期性的关系（函数的奇偶性与周期性）

1、函数的奇偶性

2、函数的周期性

常用结论

1.函数奇偶性的四个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.

(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).

(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

2.周期性的几个常用结论

3.对称性的四个常用结论

(1)若函数y=f(x a)是偶函数,即f(a-x)=f(a x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;

(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;

考点自测

函数奇偶性的判断

思考判断函数的奇偶性要注意什么?

解题心得判断函数的奇偶性要注意两点:

(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.

(2)判断关系式f(x) f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.

函数奇偶性的应用

思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?

解题心得

1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.

2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.

函数周期性的应用

解题心得 利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.

函数性质的综合应用

思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?

解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:

(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.

(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.

(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.

要点归纳小结

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