欧拉公式立体几何证明(被称为上帝公式的欧拉公式你还不会推导吗)
一般地,我们可以用 表示复数,其中
若将复数看作在复平面上一个的一个点
考虑把该点转化为极坐标表示:
我们使 ,其中
得到复数还可以表示为
即
我们先考虑一个引理:
引理1:如果一个复数表示为那么它的n次方就可以表示为
证明:我们用一般的代数方式可以得到:
整理得
类推可知 证毕
接下来我们考虑另一个引理:
引理2: 证明
证明:我们知道
那么 证毕
接下来我们尝试将引理2这个公式推广到复数域:
设 , ,其中
则根据引理2有 ,接下来证明右边的极限存在。
首先
利用引理1可以将上式表示为极坐标形式
我们先考虑一次形式: ,它也可以写为极坐标形式
易得
又 得到
所以 且
我们分别计算这两个部分的极限:
由于 这一极限不好求,所以我们求 的极限。
我们根据等价无穷小 得到
即
所以知道 故
接下来计算
我们根据等价无穷小
得到:
所以
故:
所以
这就是著名的欧拉公式:
我们取 代入得 ,它将数学里几个特殊的量以一种简洁且明确的方式联系在了一起。
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