函数周期性的常用结论及推导过程（每天解决一个小问题之函数周期性）

函数周期性在整个高中数学中的用途就是作为函数图像的简化，还有函数关系的位移如果将函数类比成为一个游戏，周期的作用就等同于闪现技能在某些时候，利用好周期性，对我们解决函数问题，绘制函数图像都十分有帮助，现在小编就来说说关于函数周期性的常用结论及推导过程?下面内容希望能帮助到你，我们来一起看看吧!

函数周期性的常用结论及推导过程

函数周期性在整个高中数学中的用途就是作为函数图像的简化，还有函数关系的位移。如果将函数类比成为一个游戏，周期的作用就等同于闪现技能。在某些时候，利用好周期性，对我们解决函数问题，绘制函数图像都十分有帮助。

首先，咱们先记住两个概念：

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

通常咱们讲的周期都是最小正周期。

利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法。此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图像特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：

命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.

（1）函数y=f(x)满足f(x a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.

（2）函数y=f(x)满足f(x a)=1/f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.

（3）函数y=f(x)满足f(x a) f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.

命题2：若a、b不相等且是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.

(1) 函数y=f(x)满足f(x a)=f(x b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.

(2)函数图像关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.

(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.

(4)函数图像关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.

命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.

（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.

（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图像关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.