高中函数及其图像知识点总结（适合高一新生和高三复习）

一、基本函数图像

要想学好函数图像并做好与函数图像有关的数学题，最首要的任务，当然是要熟练掌握一些基本函数的图像了。

我所说的基本函数，包括基本初等函数，还有就是解题时最常用到的一些常见函数。

比如双曲函数，还有导数中的六个基本函数等。

下面，还是带大家先了解下相关的函数图像。

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最简单的，当然就是一次函数y=kx b了。

要记住的是，k>0时单调递增，k<0时单调递减，

与y轴的交点为(0,b)。

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最难但也是最熟悉的，肯定是二次函数

说它是最难的，应该是因为它是三角函数之前，我们接触的唯一一个不单调的函数吧。

从图像中也不难发现，三个系数a、b、c在图像中是各司其职分工明确的：

a决定了抛物线的开口方向和张口的大小，b决定了抛物线对称轴的位置，c决定抛物线上下的位置。

不过讲真的，二次函数的值域是真的重要的，尤其在复合函数中。

其次，二次方程零点的分布，也是最常见的考题哦。

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反比例函数，我自认为也是很重要的。

尤其是它的图像，可是和我们说的圆锥曲线中的双曲线，是一样一样的。

另外，值得关注的是，从这里开始，其实我们就接触了”渐近线“这个很特别的概念。

不过，对于图像来说，这个渐近线真的是很重要的，而且往往会成为我们解题的盲点所在。

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这个，其实就是反比例函数图像平移后的结果，我们一般称之为”双曲函数“。

当然是因为图像依然是双曲线的原因了。

显然的，因为

两条渐近线便理所应当地为：

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其实上面的这种形式，应当是大家最熟悉的了。

传说中很形象地”对勾函数“。

其实，它也是”双曲函数“的一种，毕竟a、b异号时没有”对勾“的存在。

不过如果是”对勾“时，一定要注意取得极值时的条件。因为基本不等式的雏形其实也是它的。

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因为对于指数式的熟悉，指数函数其实同学都是不陌生的。

它的图像也真的是简洁明了。记住两个关键点：(0,1)和(1,a)。

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对数式相对于许多孩子来说，因为初中并没有接触过，可能还是要陌生一点。

不过仔细看一看，也还好吧，因为图像也是单调的。

和指数函数一样，也要关注两个特殊点:(1,0)和(a,1)。

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这个动图，反映了指数函数与对数函数之间的关系。

可能很多的同学，都已经淡忘了”反函数“这个概念了吧。

互为反函数的两个函数，图像是关于y=x对称的。

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幂函数，其实我并不喜欢。

主要是还是因为，考题中还是很少会涉及到它的吧。

当然，二次函数和三次函数与它还是很密切的。

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如果讲图像的变换，首选函数当然是三角函数了。

也是一定要弄清楚三个参数在图像中的作用的。

A：又叫振幅，主要是反映了图像上下的高度。

ω：反映图像的疏密程度，其实也就是周期了。它的值越大周期越小，它的值越小，周期越大。

Φ：又称初相，反映图像的左右位置，它的改变会导致图像左右的平移。

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除了这些基本函数的图像，还有要掌握的，就是导数中的六个常考函数。

真的是最常考的，也是学导数必须要掌握的导数基本函数。

它们分别是：

下面，就是它们的图像了。

1

2

3

4

5

6

图像变换

好了，掌握了上面这些基本函数的图像，第二件事，就是要熟练掌握图像变换的基础知识了。

图像的变换主要有平移、伸缩和对称变换。对于我们来说，自从有了三角函数以后，熟练掌握三种变换应该还是不太难的。

一、平移变换：

平移变换遵循“左加右减”的原则。

①若a>0，则f(x a)是由f(x)的图像向左平移a个单位长度得到，f(x-a)是由f(x)的图像向右平移a个单位长度得到。

②若b>0，则f(x) b是由f(x)的图像向上平移b个单位长度得到，f(x)-b是由f(x)的图像向下平移b个单位长度得到。

二、伸缩变换：

①f(a·x)是由函数f(x)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标拉伸或压缩到原来的a倍所得到。

a>1为从左右两侧向y轴压缩

0<a<1为从y轴向左右两侧拉伸

②a·f(x)的图像是由f(x)图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩到原来的a倍得到。

a>1为从x轴向上下拉伸

0<a<1为上下向x轴压缩

三、翻折变换

①|f(x)|的图像作法：做f(x)在x轴下方部分关于x轴对称图像，并将x轴下方部分擦去，x轴上方部分保持不变。

②f(|x|)图像作法：擦去函数f(x)在y轴左侧部分图像，右侧部分保持不变，并做其关于y轴对称图像。

图像的应用

一、图像判断

给定解析式，判断函数的图像，主要从以下几个方面着手进行排除确定。

①定义域

②奇偶性（对称性）

③特殊的点或线：与坐标轴交点、渐近线。

④函数值的分布：指的是函数值的正负、大致范围或极限值。

⑤单调性：图像自左向右上升或下降的走势

⑥凹凸性

二、解不等式

不等式f(x)>g(x)的几何意义为：曲线f(x)在曲线g(x)上方部分图像上所有点的横坐标取值集合。

根据不等式的几何意义，可以很方便地解不等式。

三、零点问题

函数y=f(x)的零点就是相应方程f(x)=0的根，也可以通过分离函数转化两图像的交点。

四、研究函数性质

通过函数的图像，可以直观反映出函数的单调性、对称性、最值及极值点等性质。

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