等体积法求立体几何体积（一个立体几何的求体积的问题）

一个立体几何的求体积的问题

一个金字塔（四面体）的底面是个正方形ABCD，顶点为E， 底面ABCD的面积为196， 三角形△ABE和△CDE的面积分别是105和91，求四面体的体积。

解1：如图，做出两个侧面的高EF和EG，很容易证明三角形EM的高就是E点到底面的距离。

正方形ABCD面积=196， 推出边长为14，

△ABE的面积=14m/2=105, 推出m=15

△CDE的面积=14n/2=91, 推出n=13,

三角形EFG的三边已知，分别是13， 14， 15，可以利用海伦定理求其面积：

s=(13 14 15)/2=21

因此三角形EFG的面积为：

四面体的高h可通过面积求出， 14h/2=84, h=12

因此

四面体的体积=Sh/3=196x12/3=784

解法2：

求高h的另一种方法， 如图从BCE的侧面看三角形EFG，有

两侧相等：

因此：

因此四面体的体积：

后记：求三角形面积虽然在给三边的情况下可用海伦定理，但有可能计算繁复，第二种方法利用勾股定求高是常用的方法。