三角形核心题型图解（三角形考点详解）

初二数学几何部分的三角形与全等三角形是初中阶段的重点内容，其中的概念，性质，定理不仅在期末考试中会考，更是在期中考试中或者单独考察，或者结合直角三角形，勾股定理，相似三角形进行综合性的考察，因此这部分的内容，同学们的基础一定要打好。今天我们一起看一下三角形这两部分必考的知识点，通过例题的形式，总结出考察的基本的知识点，提升解题的思路和方法。

考点一：三角形的三边关系

例1.　已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是( )

A．12 B．15 C．12或15 D．15或18

【解析】：本题考查的是三角形的三边关系，做题的时候尤其要注意，计算出边长之后，一定要看看是否满足三角形成立的条件，其次还要学会分类讨论的思路。本题中，等腰三角形的两条边长知道，可以分为两种情况，（1），当腰为3时，三角形三边分别是3,3,6.根据三边长关系3 3=6，不能构成三角形，因此舍去；（2）、当腰为6时，三角形的三边分别是6,6,3，满足三边关系，因此周长为6 6 3=15.因此选B。同学们考虑一下，这个题目如果改成等腰三角形两条边的长分别是5和6，那么它的周长是多少呢？

这类题目的用到的解题方法归纳：1. 判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段。2. 在已知等腰三角形的两边长求其周长时，需注意：(1)一定要利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；(2)一定要利用三角形的三边关系检验列举出的三边长是否能围成三角形．

练习：1．(海宁新仓中学期中)两根木棒的长分别是5 cm和7 cm，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可以是( )

A．2 cm B．4 cm C．12 cm D．13 cm

【解析】：本题中要牢记一个公式，就是已知三角形的两条边为a,b，则第三条边X的取值范围是|a-b|<x<a b.因此本题中第三根木棒长的取值范围在2<x<12.因此选择B。

考点二：　三角形形内角和定理及其推论

例2.　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( )

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°

【解析】：本题考查的是三角形内角和定理和三角形外角的性质。∠D=∠DCE-∠DBE=1/2∠ACE-1/2∠ABE=1/2（∠ACE-∠ABE）=1/2∠A=1/2*30°=15°，因此选A.

这类题目的解题方法归纳：在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出要求角与所在三角形中已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质求角度，同时在解题时要注意角平分线的定义、平行线的性质等知识的运用．

考点三：　三角形的三条重要线段

例3.　如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，S△ABC＝41，则S△BFC＝

【解析】：三角形的中线，将三角形分成相等的两个小三角形，因此本题中S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD＝S△ADC,所以S△BEC=S△DEB S△DEC=S△AEB S△AEC=1/2S△ABC，因此S△BFC=1/2S△BEC=1/2*1/2S△ABC，从而S△BFC＝1/4S△ABC=41/4.

这类题目的解题方法归纳:一定要牢记三条重要线段的性质，中线将三角形分成面积相等的两个三角形，同时中点所在的线段，两条线段相等；角平分线不仅平分该角，同时到角的两边的距离相等，可以用于角或者线段的等量转化，或者全等三角形的证明。

变式练习：1．(1)如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数；

(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他条件不变，求∠CDF的度数．(用含α和β的代数式表示)

解：(1)根据题意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，所以∠ACB＝68°.

因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.

因为CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD为公共角，所以∠CDF＝∠CED＝74°.

(2)由(1)可知，∠CDF＝∠CED＝∠A＋∠ACE，∠ACE＝1/2（180-α-β）.

所以∠CDF＝1/2（180 α-β）.

考点四：　线段垂直平分线与角平分线的性质

例4.　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D，求证：BE＋DE＝AC.

证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE，

∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∵AC＝AE＋CE，∴BE＋DE＝AC.

方法归纳：在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长．可以直接利用他们的性质解答。

变式练习：如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线MP交BC于点P，AC的垂直平分线NQ交BC于点Q，连结AP，AQ，若△APQ的周长为20 cm，则BC为 cm.

【解析】：本题利用垂直平分线的性质来解答，判断出相等的线段，然后表示出三角形的周长，即可求解出来，结果是20.

2．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD＝5，则△ABC的面积为 ．

【解析】：本题利用了角平分线的性质，做出两条辅助线，分别从O做BC和AC的垂线，将三角形ABC的面积转化成三个三角形的面积和，就会找到与周长的关系，最后的结果是50.