二次函数等角存在性问题练习题（赛老师伴你过寒假）

须知

看这篇文章，最好先看《赛老师伴你过寒假：九年级，备中考，二次函数中的二倍角问题》。

等角存在性问题的解题本质与二倍角问题的思路有部分重合部分。相对来讲，二次函数等角存在性问题比二倍角问题要简单很多。

怎么构造相等的角？

大致可分为六种，如下图：

构造等角6种方法

这6种方法，需要灵活应用，具体题目具体分析。

本篇文章，重点介绍二次函数中最常用的两种思路：

1. tan值相等，则角相等。（动点组成的角，一边水平或竖直时常用）
2. 联立一次函数和抛物线解析式求交点来做。（这种较难）

思路（一）：

首先，需要算出tan值；

其次通过二次函数表达式，设动点坐标，表示线段长度。

最后，用相等的tan值列出方程，求解，即可。

解题关键：如何算出tan值？

一般方法是：画出高，再用三角形面积，求斜边的高，再通过勾股定理求出相关线段，从而求出tan值。

例说用tan值，速解二次函数中等角存在性问题。

例1：如下图：

例1

例1，其中∠PAB中有一边AB为水平，所以考虑用tan值的方法。

图解如下：

分析图

分析：

1. 可以求出△ACC1的面积，AC的长度，从而求出HC1的长度，再用勾股定理算出AH的长度，从而求出tan∠CAC1的值。
2. 通过抛物线解析式设P点的坐标，通过tan∠CAC1的值，列出方程，求解，即可。

具体过程，如图：

例1解法

牛刀小试

解法与例1相同，试试看看。

等角练习

思路（二）

如动角，没有一边水平或竖直，用上述方法无法解答时，考虑用下面的方法。

一次函数的综合二次函数求交点坐标，巧解等角问题。

例题如下图：

一次函数求交点，解等角

分析：鉴于BC并非水平或竖直，所以无法用tan∠PBC来列方程求解。

这题考虑用一次函数与二次函数求交点坐标来做，常用方法是构造平行线，对于一次函数来说，平行指的是k值相等。

数形结合如下图：

数形结合

（1）如图位于P1时，构造BP1平行DC,可以先求出DC的一次函数表达式，则BP1的一次函数表达式与它k相等，又因过B点，可求出BP1的一次函数表达式。然后和抛物线解析式联立求出交点P1的坐标。

位于P1时，比较简单。

（2）如图位P2时，介绍两种方法。

方法一：过点C做垂直于BC的直线，分别交BP1,BP2于E1和E点。把E点坐标求出来，再用待定系数法，通过B点和E点坐标，求出BP2的一次函数表达式，然后和抛物线解析式联立求出交点P2的坐标。（不一定非要过点C做垂线，可以取BC上任意一点做垂线，取C只是方便一点。）

关键是怎么求出点E的坐标？

过点C做垂直于BC的直线，分别交BP1,BP2于E1和E点。

两条相互垂直的直线k值的积为-1，可求出CE的表达式，再与BP1的表达式联立，求出交点E1的坐标。

因为∠P1BC=∠P2BC，所以点E和点E1关于C点对称。通过中点坐标公式求出点E的坐标。

强调：两条相互垂直的直线k值得积为-1，为高中知识。

虽然用了高中知识，但这种处理方法比较简单，容易想到。

方法二：利用等腰三角形，三线合一的性质

解法如下图：

方法二

此方法关键是发现等腰三角形△BMC，再做BC的垂线，等腰三角形三线合一，MN是BC的垂直平分线，所以NC=NB,设N点坐标，用两点之间距离公式，即可求出点N坐标。又G为BC中点，中点坐标公式求出G点坐标。然后求出MN表达式，联立CD的表达式求出交点M的坐标，再求出BM的表达式，联立抛物线解析式，即可求出P点坐标。

方法二，计算量相对来说较大，细心仔细，别出错。

举一反三

解法与例2一样，来做做试试！

练习2

结束语

赛老师带你过个充实的寒假。

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