数学归纳法中的规律（数学归纳法原理和例题）

数学归纳法原理

我们听说你喜欢小狗。我们很确定你两边的邻居都喜欢小狗。正因为如此，我们可以假设世界上每个人都喜欢小狗。这似乎有点牵强，对吧?但数学归纳法是这样的，而且比任何关于小狗受欢迎程度的断言都更有确定性。

数学归纳法原理是证明某些类型的数学命题的一种强大而优雅的技术。它适用于一般命题它断言某些东西对所有正整数或从某一点开始的所有正整数都是正确的。

它类似于多米诺骨牌效应，一个倒下，随后其它的跟随倒下。

现代资料认为，意大利数学家乔瓦尼·瓦卡(1872 -1953)在1909年发现了数学归纳法的原理。

归纳证明假设你想证明某些性质P(n)适用于所有非负整数。为了利用归纳原理证明，我们遵循以下步骤:

• 证明P(0)为真。这个步骤被称为基或基本情况。
• 证明对于任意自然数n，如果P(n)为真，那么P(n 1)也为真。

在这一步中，我们假设P(n)对一个自然数k是正确的，然后尝试证明它对k 1也是正确的。这被称为归纳步骤。

• 如果我们成功地证明了归纳步骤，那么通过归纳，我们可以得出P(n)对所有非负整数都成立。(逻辑上，P(0)为真，从归纳步骤中P(1)为真，然后P(2)为真，以此类推)
• P(n)被称为归纳假设。
• 通过归纳得出，P(n)对所有n都成立。

数学归纳法的局限性是什么?

数学归纳法的主要局限性之一是，它仅限于一组数字中可量化的项目;不能超过可量化的集合。

数学归纳法原理举例

表述:前n个自然数的和是n(n 1)/2。

证明:通过归纳法，设P(n)为“前n个正自然数的和是n(n 1) / 2”。

现在，我们需要证明P(n)对所有自然数n都成立。

步骤1 –基底情况

我们需要证明P(0)为真，这意味着前0个自然数的和为0(0 1)/2。因为前0个自然数的和是0 = 0(0 1)/2.P(0)是正确的。

步骤2 -归纳步骤

对于归纳步骤，假设对于某n, P(n)成立，所以1 2 … n = n(n 1) / 2。

我们需要证明P(n 1)是成立的，这意味着前n 1自然数的和是(n 1)(n 2)/2。考虑前n 1个正自然数的和。这是前n个自然数的和，加上n 1。根据归纳假设，

1 … n (n 1)= n(n 1)/2 n 1= [n(n 1) 2(n 1)]/ 2 = (n 1)(n 2)/2

步骤3 -归纳假设

因此当P(n)为真时P(n 1)成立，所以P(n)对所有自然数n都成立。

证明的结构

• 说明你正试图用归纳法证明某物。
• 说明你选择的P(n)是什么。
• 证明基本情况:说明P(0)是什么，然后证明它。
• 证明归纳步骤。
• 说明你假设P(n)和P(n)是什么。说明P(n 1)是什么。(这就是你要证明的)
• 去证明P(n 1)

数学归纳法解题原理

问题1：对于任意正整数n, −1能被5整除。运用归纳原理验证命题。

解决方案：对于任意n≥1,Pn表示−1能被5整除。

基本情况:声明P1的计算表明，

=>−1 = −1 = 5能被5整除，这是正确的。

归纳步骤:设k≥1，并设Pk为真，即−1能被5整除。我们还需要证明也是正确的，即−1能被5整除。

通过，第一项6(−1)能被5整除，第二项显然能被5整除。因此左边也能被5整除。因此1为真。

归纳假设:因此，根据数学归纳的原理，对于所有n≥1,Pn成立。

下列n个连续自然数的乘方和公式都可以用归纳法证明。