奔驰定理题及答案（奔驰定理辛酉丑故事数学专栏）

作者 | 重庆 辛酉丑

大学毕业后，飞哥来到矿山教书，经热心的徐老师牵线搭桥，飞哥认识了珥妹。

珥妹是煤矿机房监测员，鹅蛋脸，双眼皮，乌黑的发髻上插着碧绿的发夹，一米五八的个子显得玲珑可爱。她有一副好嗓子，像纯银一样干净，一个高音上去真有绕梁三日的感觉。

飞哥特别喜欢看珥妹笑，珥妹笑起来眼角弯弯的，像月牙儿，高高翘起的嘴角边挂着两个酒涡。“有酒涡的女孩子就是可爱。”飞哥第一次见到珥妹就这样想。事实上珥妹很爱笑，她常常会因为一句并不好笑的话笑弯了腰，银铃般的笑声就像她的歌声一样，让珥妹的心变得很轻很轻，轻得飞到对面的山岗的那颗大榕树上打秋千，轻得和天上的云彩一起扭秧歌。

飞哥上课有时候会走神，走神的时候多半是想起了珥妹，下班后他老是匆匆离校，赶着去见珥妹。但是珥妹是什么态度呢？飞哥不好说。珥妹是城里的女孩，见多识广，喜欢热闹，一天到晚叽叽喳喳，朋友也多，飞哥感觉她和别人话挺多的，可在自己面前就文静多了，是害羞，还是找不到共同话题呢？飞哥吃不准，他是农村出来的，人文方面够呛，数学老师，标准理科男。飞哥感觉珥妹简直就是自己人生路上的黎曼猜想，迷人却又让人困惑。

这天，珥妹说下跳棋，飞哥觉得没意思。飞哥说下象棋，珥妹说不会。考虑到飞哥是学数学的，珥妹从弟弟的教辅资料中找了一个全国高中数学联赛题来问飞哥。

2004 年全国高中联赛第 4 题：设 点在 内部，且有 ，则 的面积和 面积之比

A．2 B． C．3 D．

飞哥觉得珥妹考他，是想检测他的专业水平，心里暗下决心，一定要快速解答这个问题。可是越着急脑子越乱，想了十多分钟，还是没有思路，飞哥的额头不由得渗出了汗珠。珥妹善解人意地说：“明天要上班，早点回去休息吧。”飞哥有些沮丧，心爱的姑娘用自己最擅长的东西来考自己，自己却丢人丢到姥姥家了。独自徘徊在回家的路上，飞哥一直想着那个数学题，突然灵机一动，有了解题思路。他在心里默默演算：

如图，设 、 分别为 、 的中点，

则 、、 三点共线。

易知

所以 ，正确答案选（C）.

飞哥恨不得立即回去把答案告诉珥妹，可是太晚了，于是打算明天早上下了课就去，可是第二天徐老师带了一封珥妹的亲笔信过来，信中尽是安慰的好话，飞哥有一种不祥的预感，果然信的最后一句话是“我俩不合适”。

飞哥的心一下子沉到了万年冰潭的潭底，脑子嗡嗡作响，徐老师什么时候走的，自己怎么回寝室的，为什么会躺在床上，通通不记得了。也不知道过了多久，他才回过神来。窗外的路灯，白楞楞地泛着光，在发黄的天花板上投射出树木黑黢黢的形状。他翻了一个身，摸到了一张纸，是昨天演算的草稿纸。

向量关系式 恰好等价于“、、 共线”，这太巧了。如果把条件中的系数稍微改一下，此时 、、 不共线，上述解法就失效了。如果 点在 内部，当 ， 与 的比值又是多少？有没有一种通法？

想到这些，飞哥仿佛注入了兴奋剂，立即起身研究，拿起纸笔，开始作图演算：

令 ，，则 ，可知： 点是 的重心.

令 ，则 . 如图，可知：

，

，

.

.

.

解答完毕，飞哥深深地叹了一口气说：“珥妹，这个题不难，我会解。”

母亲病了，飞哥回了趟老家，半个月才回来，到镇上的时候正是晌午，想到下午还有课，他决定先去吃碗面垫垫肚子，再去理个发，免得蓬头垢面的，让学生浮想联翩。

在校门口面摊里等着老板挑面时，透过氤氲的水汽，飞哥又看到了珥妹。阳光洒在布满矿渣的大街上，有些晃眼，街对面的珥妹笑盈盈的，眼睛弯弯的，像月牙儿，正在用力咂吸着一杯甘蔗汁，盛甘蔗汁的杯子被矿区的秘书小林托着。林秘书是个大高个，白白净净的，又能唱又能跳，二胡钢琴样样来得，一说一个笑，爱往大姑娘小媳妇堆里钻，他的嘴又巧又甜，常常是不到三句话就逗得她们哈哈大笑。飞哥心里很不是滋味，不知怎么又想起了那道数学题，面也没好好吃，就回寝室研究起来。

设 点在 内部，如果 ，则有 .

同理也有：，.

所以

如果 点在 内部，则有

图画好了，飞哥盯着这个三角形图形看了一会儿，突然想到奔驰汽车的商标，一拍桌子，把笔扔在桌上，骂道：“真蠢！这不是网络上的奔驰定理吗？”

半年后，飞哥的一篇论文发表了，很快就被调到县中去了，时间一晃三年，飞哥再也没有回过矿区，他似乎有意无意地回避来自那个方向的消息。飞哥学会了一句诗，“曾经沧海难为水，除却巫山不是云”，一个人的时候常常念给自己听。这年暑假，矿区的一个朋友到县城办事，飞哥请他喝酒，许是喝得有点多，鬼使神差，飞哥打听起珥妹的情况，朋友说：“结婚了，孩子都一岁多了。”飞哥心里有些堵，借口有事，草草结束了这顿酒。回到寝室里，看到贴在柜门上的那张皱巴巴的草稿纸，不由自主又想起了那个折戟沉沙的夜晚，骂道：“臭题！臭题！你是我的克星，今天我要看看你究竟有几般变化？”借着酒劲，飞哥拿出纸笔一边画图一边演算：

1.如果将 点改为 的重心是 ，则

由奔驰定理可知：

可得

.

2.如果将 点改为 的外心，则

由奔驰定理可知

可得

3.如果将 点改为 的内心 ，则

，

，

由奔驰定理可知

可得

4.如果将 点改为 的垂心 时，则

可得

由奔驰定理可知

可得

飞哥在纸上画上最后的一个符号，突然有一种奇怪的感觉，没有想象中应该有的兴奋，反而显得很宁静，佛家称这种感觉叫“一片空明”。 “四辆‘奔驰’，重心，外心、内心、垂心。” 他自己对自己说。

于是他拉开抽屉，拿出一沓信纸，工工整整地把这些演算过程誊录了上去，信末他这样写道：“可能这个结果来得太迟，可能你已经记不得了，但是我，花了三年时间才解出来，也解开一个早就该解开的心结。珥妹，祝你幸福！”

作者简介：辛酉丑，重庆潼南人，1991年7月毕业于西南师范大学数学系，重庆南开中学正高级教师，重庆“322”重点人才(二层次)，重庆学术技术带头人后备。主持省级课题2项,主研省级课题2项，参与国家级课题2项；参与编写了大学教材《小学数学教育概论》和重庆地方教材《研究性学习》；出版专著《数学与生活》，《数学解题泄天机》，在《数学教育学报》《数学通报》等杂志发表论文70多篇，其中核心期刊20多篇；数学教育论文曾获全国紫京杯数学教育创新论文一等奖,初等数学论文获全国第二届青年初等数学研究奖；指导学生在《数学通报》等杂志发表文章16篇，指导8名学生进入全国高中数学奥林匹克冬令营，中国数学会三次授予优秀教练员。近几年在西南大学、重庆师范大学、重庆教育科学研究院、重庆第二师范学院、重庆三峡学院以及重庆部分区县教师进修学院和一些中学主讲40多场。重庆晚报、重庆晨报等媒体曾专题报道。

15	变
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18	懂事
19	雪儿
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