arctanx定积分等于多少（不定积分arctanxdx）

详细介绍求不定积分∫arctanxdx/(1 x)^3过程中用到的不定积分计算方法。

A1=∫arctanxdx/(1 x)^3

=∫arctanxd(1 x)/(1 x)^3[①凑分法]

=(-1/2)∫arctanxd(1 x)^(-2)[②凑分法]

=(-1/2)arctanx/(1 x)^2 (1/2)∫(1 x)^(-2)darctanx[③分部积分法]

=(-1/2)arctanx/(1 x)^2 (1/2)∫dx/[(1 x^2)(1 x)^2]

设A2=(1/2)∫dx/[(1 x^2)(1 x)^2],

则：

A2=(1/4)∫[(x 2)/(1 x)^2-x/(x^2 1)]dx[④裂项分解法]

=(1/4)∫(x 1 1)dx/(x 1)^2-(1/4)∫xdx/(x^2 1)

=(1/4)∫dx/(x 1) (1/4)∫dx/(x 1)^2-(1/8)∫dx^2/(x^2 1)

=(1/4)ln|x 1| (1/4)∫dx/(x 1)^2-(1/8)ln(x^2 1)[⑤自然对数不定积分]

=(1/4)ln|x 1|-(1/4)/(x 1)-(1/8)ln(x^2 1) C.[⑥幂函数不定积分]

=(1/8)ln[(x 1)^2/(x^2 1)]-1/[4(x 1)] C.

即本题最终结果为：

A1=(-1/2)arctanx/(1 x)^2 A2

=(-1/2)arctanx/(1 x)^2 (1/8)ln[(x 1)^2/(x^2 1)]-1/[4(x 1)] C.

本题是一个求不定积分的综合题目，从上述步骤看共用到了六种方法及公式。这也告诉我们，求不定积分的题目，一道题一般会使用多种方法得到不定积分的结果。