容斥问题50题（数资容斥原理的两大经典题型）

在数资中容斥问题是高频考点之一

今天，小编和大家分享

容斥问题的两大重点题型

快来和小编开启今日份学习之旅吧~

容斥问题是历年的常考题型, 也是小伙伴们的的得分重点。该类题目中会给出多个条件(概念), 各条件(概念) 之间存在交叉关系。

例如: 某班参加物理竞赛的有30 人, 参加数学竞赛的有32 人, 两科都参加的有20 人。在这里物理竞赛是第一个条件, 数学竞赛是第二个条件, 满足第一个条件和第二个条件的人数分别是30 人和32 人, 同时两科都参加的有20 人, 这20 人是即参加物理竞赛又参加数学竞赛的, 说明物理竞赛和数学竞赛存在交集。

通过以上描述可知, 在做题的过程中, 要知道容斥问题的题目特征是非常重要, 同时确定了题型之后我们要知道如何解决这类问题。容斥问题在考试中考查两大类题型:两集合和三集合。这两类题型都有相应的公式, 以及需要我们注意的问题。快来和小编一起破解这两大类题型吧~

【例1】（2019江苏）市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况, 其中108 人看过甲频道, 36 人看过乙频道, 23 人既看过甲频道又看过乙频道, 则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是:

A. 17 B. 22 C. 29 D. 38

【答案】C

【解析】

第一步，本题考查容斥原理中的二集合容斥原理，用公式法解题。

第二步，设受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数为x，根据二集合容斥原理公式可列方程：108＋36－23＝150－x，解得x＝29。因此，选择C选项。

【例2】(2018年联考)某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级: 两项测评都不合格的为次品, 仅一项测评合格的为中品, 两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2 倍, 测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6 ∶ 5。若该批产品次品率为10%, 则该批产品的优品率为:

A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%

【答案】C

【解析】

第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。

第二步，赋值优品数为2，则只有测评Ⅰ合格的为4，那么测评Ⅰ合格的为6。根据合格之比为6∶5，可推知测评Ⅱ合格的为5，则只有测评Ⅱ合格的为5－2＝3，那么合格的为6＋5－2＝9，由产品次品率为10%，可知合格率为90%。则不合格产品为1，总数为10。

第三步，该产品的优品率为2/10=20%

因此，选择C选项。

【例3】（2020年新疆）某单位共有240名员工, 其中订阅A 期刊的有125 人, 订阅B 期刊的有126 人, 订阅C 期刊的有135 人, 订阅A、B 期刊的有57 人, 订阅A、C 期刊的有73人, 订阅3 种期刊的有31 人, 此外, 还有17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C 期刊的有多少人?

A. 57 B. 64 C. 69 D. 78

【答案】B

【解析】

第一步，本题考查容斥原理。

第二步，题目中满足两个条件的集合人数是分别给出的，应用三集合标准型容斥原理公式解题。设订阅B、C期刊的有x人，可列方程：125＋126＋135－57－73－x＋31＝240－17，解得x＝64（也可利用尾数法求得尾数为4）。

因此，选择B选项。

【例4】（2019年河北）某班参加学科竞赛人数40人, 其中参加数学竞赛的有22 人, 参加物理竞赛的有27 人, 参加化学竞赛的有25 人, 只参加两科竞赛的有24 人, 参加三科竞赛的有多少人?

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】C

【解析】

第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。

第二步，设参加三科竞赛的有x人，根据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。

因此，选择C选项。

以上就是今天的备考技巧

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