带电粒子在匀强磁场中的运动公式：在带电粒子有界

带电粒子在圆形有界磁场中的运动常用到以下结论：

实质都是轨迹圆和磁场圆的相交与相切的几何问题，也可用解析几何方法求出轨迹方程.

1.径向射入，径向射出.

2.径向射入，速度越大（小），速度偏转角越小(大)，时间越短(长).

用极端法考虑，速度无穷大，半径无穷大，轨迹趋近直径AB，偏转角趋近0，时间趋近0.

【例题】如图所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速度为v的不同带电粒子，其中粒子1从A点飞出磁场，粒子2从B点飞出磁场.不考虑带电粒子的重力，则（D）

A.带电粒子1与2的半径的比为1：2

B.带电粒子1与2的比荷的比为√3：1

C.带电粒子1与2在磁场中运动周期比为3：1

D.带电粒子1与2在磁场中运动时间的比为2：3

3.非径向射入，速度与磁场圆半径夹角相等.

4.非径向射入，速度与公共弦夹角相等.

入射速度方向(不一定指向磁场圆圆心)与轨迹圆弧对应的公共弦的夹角为θ(弦切角)，出射速度方向与轨迹圆弧对应的公共弦的夹角也为θ，则速度偏转角为2θ，轨迹圆孤对应的圆心角也为2θ，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、磁场圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上，实质就是两圆相交的几何问题.

【例题】如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB是圆的直径。一带电粒子从A点射入磁场，速度大小为V、方向与AB成30°角时，恰好从B点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为（）

【答案】√3v/2

【例题】如图所示，在xoy坐标系第一象限内有一个与x轴相切于Q点的有理想边界圆形匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，一带电粒子（不计重力）质量为m，带电荷量为＋q，以初速度v₀从P点进入第一象限，已知θ＝30°.经过该圆形有界磁场时.速度方向改变了α＝60°，并从x轴上的Q点射出.试求：

（1）该圆形磁场区域的半径R；

（2）该粒子在磁场中的运动时间t.

（3）使带电粒子不能穿过c轴时圆形磁场区域的最小半径r.

【解析】

5.从磁场圆内射出，临界点是轨迹圆与磁场圆相切.

轨迹圆半径比最小轨迹圆半径小，一定不能射出磁场圆；轨迹圆半径比最大轨迹圆半径大，一定能射出磁场圆.

【例题】如图所示，在以O为圆心，内外半径分别为R₁＝0.5m和R₂＝1.5m的圆环区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的粒子从内圆上的A点射入该圆环区域，不计空气阻力及粒子重力。求：

（1）若磁感应强度B＝1T，粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v₁＝10⁵m/s射出，方向与OA延长线成30°角，粒子的电性及比荷q/m；

（2）若粒子仍从A点沿不同方向射入磁场，速度大小为v₂＝10⁶m/s，要使所有粒子一定都能够从外圆射出，磁感应强度的大小B′满足的条件。

【例题】如图（a）所示，在以O为圆心，内外半径分别为R₁和R₂的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差∪为常量，R₁＝R₀，R₂＝3R₀，一电荷量为＋q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力。

（1）已知粒子从外圆上以速度v₁射出，求粒子在A点的初速度v₀的大小。

（2）若撤去电场，如图（b），已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v₂射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间。

（3）在图（b）中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v₃，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？

【例题】核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内，通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内，设环状磁场的内半径为R₁＝0.5M，外半径R₂＝1.0m，磁感应强度B＝1.0T，若被束缚带电粒子的比荷为q/m＝4.0×10⁷C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，试求：

（1）若粒子沿环状的半径方向射入磁场，则不能穿越磁场的最大速度为多大？

（2）若粒子速度方向不受限制，则粒子不能穿越磁场的最大速度为多大？

6.磁聚焦

当轨迹圆与磁场圆大小相同时，大量相同带电粒子以相同速度从不同入射点射入磁场，则所有带电粒子汇聚于一点(焦点)射出磁场，弧长不一样，在磁场中运动时间是不一样的.

实质为两个等大的圆相交的几何问题.

vʙ∥vᴀ，则MB∥O₁A.由入射点B、粒子轨迹圆的圆心M、磁场圆心O、出射点J的连线构成一个四边形，OB=OJ=R(磁场圆半径)，MB=MJ=R(轨迹圆半径)，四边形MBOJ为一个菱形，则OJ∥MB∥O₁A，且O₁A=R=OJ，同理，平行射入，将汇聚于同一点(焦点)，好像凸透镜将平行光汇聚于一点一样.

如何找焦点？

汇聚点(焦点)在径向射入的出射点(最简单的).

【例题】如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为V₀的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

【解析】

【例题】如图，在xOy坐标平面第一象限内、x≤1m的范围中，存在以y＝x²为上边界的沿y轴正方向的匀强电场，场强大小E₁＝2.0×10²N/C.在直线MN（方程为y＝1m）的上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场.在x＝-1m处有一与y轴平行的接收板PQ，板两端分别位于MN直线和x轴上；在第二象限，MN和PQ围成的区域内存在沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E₂.现有大量的带正电粒子从x轴上0＜x≤1m的范围内同时由静止释放，粒子的比荷均为q/m＝1.6×10⁵C/kg，不计粒子的重力及其相互作用.

（1）求在x＝0.5m处释放的粒子射出电场E₁时的速度大小；

（2）若进入磁场的所有带电粒子均从MN上同一点离开磁场，求磁感应强度B的大小；

（3）若在第（2）问情况下所有带电粒子均被PQ板接收，求电场强度E₂的最小值和在E₂最小的情况下最先打在接收板上的粒子运动的总时间.

7.磁发散

带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点以相同速率朝任意方向射入磁场，如果磁场圆半径等于轨迹圆半径，则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行.

所有带电粒子射出磁场时的速度方向必相同（平行）.

如何找出射方向？

出射方向为径向射入的出射方向(最简单的).

磁聚焦和磁发散是一个互为逆过程.

【例题】如图，在xOy平面内，有以O′（R，0）为圆心，R为半径的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向外，在y＝R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场强度大小为E。在坐标原点O处有一放射源，可以在xOy平面内向y轴右侧（x＞0）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为R，电子电量为e，质量为m，不计重力及阻力的作用.

（1）求电子射入磁场时的速度大小；

（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场

的电子，求它到达y轴所需要的时间；

（3）求电子能够射到y轴上的范围。

【解析】

【总结】磁发散或磁聚焦的磁场条件是：

① 圆形边界磁场

② 磁场圆半径等于轨迹圆半径

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