直角三角形在中考中的重要性（和等腰三角形有关的分情况讨论问题）

分类讨论思想是中考主要考点之一，由于题中交代的信息不明确，需要分情况讨论说明，尤其是等腰三角形有关的题型，是常见的考题。

以下列举几道具有代表性的试题，难度不大但是容易丢分，作为专项练习，讲练结合，以提高水平能力。

1、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底边长.

【解析】由于指代不明因此需分两种情况：如图①，若AB AD=12，BC CD=9，可解得AB=AC=8，BC=5；如图②若AB AD=9，BC CD=12，可解得AB=AC=6，BC=9.

2、已知等腰三角形的一个内角为80º，则另两个角的度数是多少？

【解析】哪一个内角是80º？是底角还是顶角？指代不明，所以要分情况说明：若顶角是80º，则另外两个角就是底角，可求得是50º；若一个底角是80º，则可求得另外两个角是80º和20º.

3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25º，求顶角的度数.

【解析】分两种情况，如下图，若∠ABD=25º，易求得顶角∠A=65º.

如下图，若∠ABD=25º，易求得顶角∠A=115º.

4、已知AD是等腰三角形ABC的腰BC上的高，∠DAB=60º，求三角形ABC中各内角的度数.

【解析】和上一题类似，答案为75º75º30º或150º15º15º或120º30º30º.

5、已知等腰三角形ABC，AD⊥BC于点D，且AD=1/2BC，则求△ABC底角的度数 .

【解析】分3种情况讨论：

①如下图，易证得△ABD是等腰直角三角形，因此底角∠B=∠C=45º.

②如下图，由于AD=1/2BC，AC=BC，所以在Rt△ACD中AD=1/2AC，易求得∠C=30º，则底角都为75º.

③如下图，易求得底角都为15º.

6、在平行四边形ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=30º，则∠A等于多少度.

【解析】当△ABD是锐角三角形时，如下图所示，∵ BE为AD边的高，∠EBD=20º，∴ ∠EDB=70º. ∵ AD=BD，∴ ∠A=1/2（180º-∠EDB）=55º；

当△ABD是钝角三角形时，如下图所示，∵ BE为AD边的高，∠EBD=20º，∴ ∠ADB=∠DEB ∠EBD=110º. ∵ AD=BD，∴ ∠A=1/2（180º-∠ADB）=35º.

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综上所述，∠A的度数为55º或35º.

​点评：平行四边形的内角度数未知，应分两种情况讨论：①点E在线段AD上时；②点E在线段AD的延长线上时.学生容易忽略其中一种情况.