微积分方法总结（一篇文章把高大上的微积分踩在脚下）

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微积分（Calculus）是微分学（Differentiation）和积分学（Integration）的总称，微分学就是‘无线细分’，积分学就是‘无限求和’，无限就是极限，微积分的基础就是极限的思想。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的，主要内容包括极限、连续、可微和重积分，最重要的思想就是“微元”和“无限逼近”。

微积分主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

用数学的语言描述这一概念，我们定义直线的斜率为：

如果一条直线的斜率是2/5,那么当x增加5个单位时，y会增加2个单位，缓缓上升。但如果斜率是5/2，则表明当x增加2个单位时，y整整增加了5个单位，此时攀升速度相当快。

通过点(x1,y1)和点(x2,y2)的直线的斜率的定义：

如何确定曲线的斜率呢？如y=4x^2 2x 9，显然，整个抛物线没有固定的斜率，每一点的斜率都不同。如何确定点P0(2,29) 斜率呢？从图上看,在点P0画出这个抛物线的切线，切线的斜率就是抛物线的点P0处的斜率。

但如何求切线的斜率呢，因为斜率的定义需要直线上的两个点来计算，现在只有P0点而已，微分学给出了绕过这一障碍的方法，那就是间接地逼近这条切线的斜率，这是一条绝妙的进攻路线。

我们需要求出的是曲线在x=2处的斜率，首先我们考虑：选取靠近x=2处的一个点，先选取x=5这一个点P(5,119)，两点PP0连成了一条割线，用割线的斜率来近似点P0的切线的斜率。

但这只是一个粗略的近似，选取的P点的x轴值x，如果｜x-2|能尽可能小，则越精确近似点P0切线的斜率。所以要考虑让点沿着抛物线逐步更加接近P0去计算抛物线上的点。（相连的割线形成的斜率。）

曲线4x^2 2x 9

	x	y	割线斜率
	5	119	30
	4	81	26
	3	51	22
	2.5	39	20
	2.1	30.84	18.4
	2.01	29.1804	18.04
	2.001	29.018	18.004
	2.0001	29.0018	18.0004
	2.00001	29.00018	18.00004

有一个显然的趋势，选取点越靠近P0点(x=2)，对应的割线也旋转着更加靠近这条切线。

这样，需要有一个一般的方法去求ax^2 bx c上任意点P0(x0,y0)处的斜率公式：选取一个邻近点P(x,y)，x=x0 h;

=2ax a(0) b=2ax b

曲线的切线斜率是当h趋近于0时相应割线斜率的极限，这个极限称为导数，求导数的过程称为微分。

微分学的目标就是发展更一般的公式。我们肯定不想局限于处理抛物线。使用与上面的过程类似的思路，数学家从一般函数y=f(x)开始，求其上任意点（x,y）处的切线的斜率。同上，我们在这条曲线上选择一个邻近点，坐标是(x h,f(x h)),接下来，确定割线的斜率：

最后求当h→0时，上面这个商的极限值。

莱布尼茨把导数记为:

后来约瑟夫﹒路易﹒拉格朗日(1736-1813)引入更强大的记法，使用符号f’(x)表示f(x)的导数。

从这个一般定义开始，我们可以给出许多函数的导数，当微分x的幂函数，即求形如xn的函数的导数时，一个非常优美的模式出现了，即

求曲线的极大值和极小值的关键是我们前面讨论的斜率，在小山的顶部或狭谷的底部，曲线的切线是水平的，即是一条水平直线，它的斜率是0.用代数的语言表示，求函数的极值，可以转换为求函数的导数等于0的方程解。

我们可以从一个实例去充分领略微分学的风范。

意大利数学家吉罗拉莫﹒卡尔达诺（1501-1576）有一个论断：不存在两个实数（设为x,y）满足其和等于10且其积等于40；利用微分学，我们很容易证明他的结论。

f(x)=xy=x(10-x)=-x*x 10x,求其极大值。

f’(x)=-2x 10,当x=5时，f’(x)=0,xy=25,和等于10的两个实数有极大积25.

如果讨论周长为20的几何体，哪一类及相应参数设计如何达到面积最大？圆，面积可达100/pi.

微分的概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去挖替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。

微分的思路就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，则线性函数总是比较容易计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似的值，这就是利用微分方法进行近似计算的基本思想。

函数与其导数是两个不同的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体特征，就需要在导数和函数之间建立起联系。微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理、泰勒定理）是沟通导数值与函数值的桥梁，是利用导数的局部性质去推断函数整体性质的工具。

利用中值定理通过导数去研究函数的形态，如判断函数的上升、下降、极限值、凹形、凸形和拐点等重要形态，从而把握住函数图像的各种几何特性。

中值定理刻画了函数在区间上的增量与函数在敬意内的某一点的导数的关系。

在数学中，微分是对函数在局部变化率的一种线性描述，微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

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微分学研究的是曲线的斜率，而积分学描述的是曲线下的面积；对于圆和梯形等不同图形的面积我们需要应用不同的公式，相对而言，积分采用更一般的视点，寻找一个统一的方法求任意函数界定的面积。

如前面微分学的思路，由割线的斜率去逼近目标点的切线的斜率，曲线下面积的求法的思路也可从矩形的面积累积：构造的矩形的高可由t的值，通过y=f(t)求得，如下图，曲线下面积≈矩形面积之和= f(t1)△t1 f(t2)△t2 f(t3)△t3.显然，这个面积只是粗略地近似。如何改进它呢？合适的技巧就是更多的细分：利用极限的思路，不要止于一千或一百万个矩形，让它们的数量没有限制地增加，甚至到了它们的宽度逼近0.

这样做以后，我们将定义曲线下的面积等于：

莱布尼茨引入了一个新符号，他把曲线下的面积表示成∫，是“sum”中拉长的“S”,表示矩形面积之和，从此以后y=f(t)在t=a和t=x之下的面积表示成为

这就是积分，它是由上面的矩形面积的和的极限定义的，而且求这个积分的过程称为积分法。

我们可以考虑先从一个最简单的例子开始，求直线y=f(t)=2t下从t=0到t=1的面积，如下图所示。它的面积借助三角形的知识，可知面积是1.

如果我们从上述微分的方法去求会怎样？首先我们考虑把从0到1的这个区间分成五个相等的子区间，它们的高分别是2/5,4/5,6/5,8/5,2,五个矩形的面积之和等于1.2；显然这种粗略的估计的面积和大大大于三角形的精确面积1,但如果我们把这个0到1的区间分成n等份，则矩形面积之和等于：

但我们要追求的是一般性的求法，莱布尼茨引入

来表示从t=0开始到t=x之间它下面阴影部分的面积。F实际上是x的函数，因为当x向右边移动时，F(x)或者说在0和x之间曲线下的阴影面积也随着变化。函数F就是一个“面积累加器”函数，它的值依赖于x被向右边放置多远。

数学家的目标就是要寻求关于F的某类公式，这样使得我们只需把x代入到F里就可以确定这个面积。

根据F的定义，我们知道F(x h)是由曲线y=f(t)在t=0到t=x h之间所围成的面积。因此F(x h)-F(x)是它们的面积之差。

我们连接(x,f(x))和(x h,f(x h))两点，使用梯形面积近似求得不规则带的面积：1/2h[(f(x) f(x h))]，F(x h)-F(x)=不规则带的面积≈梯形面积=1/2h[f(x) f(x h)]

变上限积分

在[a,b]上可导，且其导数Φ’(x)=f(x).变上限积分的导数等于被积函数在上限处的值，从几何上看，当f(t) ≥0(∨t∈[a,b])时，△Φ表示x轴上以[x,x △x]( △x>0)为底，以y=f(x)为曲边的窄条曲边梯形的面积，它除以底的长度△x显示近似于在x点的高度f(x),当△x→0时，这个近似值就成为精确值。

定积分就是微分f(x)dx的累计，累计的范围是从a到b,记为

也就是说作为整体性质的定积分是由作为反映局部性质的微分所组成的。

定积分的概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积，解决的基本思路是用有限代替无限。

不定积分的概念是为了解决求导和微分的逆运算而提出的。

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4.1 正方形铁皮， 边长为a,截去四角，做成一个无盖的盒子，怎样截角可能做到盒子体积最大？

也就是说，当每个角截去连长a的1/6时，做成的盒子的体积（(2/27)a^3）最大。

4.2 一张A4纸大小的铁皮，截去四角，做成一个无盖的盒子，怎样截角可能做到盒子容积最大？

4.3 任意长宽的平面w*L

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5.1 求切线不过是求差，求积分不过是求和 ↓

5.2 切线(连接距离无限小的两个点) ↓

5.3 割线斜率的极限 ↓

5.4 斜率(间接地逼近) ↓

5.5 求导过程 ↓

5.6 牛顿方法 ↓

5.7 基本求导和积分公式 ↓

5.8 面积函数的导数 ↓

5.9 面积函数的导数是原曲线函数(面积近似于梯形) ↓

5.10 面积函数与曲线函数 ↓

5.11 微积分基本定理的启发式推导 ↓

记得刚参加工作那会，刚好是农村责任田按每家每户人口数量调整的时候。对责任田的丈量涉及到两个知识点，一是单位的换算，农村习惯使用的单位是多少亩多少分的田（1亩=10分=666.67平米）；二是责任田的形状确定的问题。

因为大部分田的形状并不是规整的几何形状，对于形状不规整的田的面积的丈量，其思路也很简单，就是划分出若干小的规整的形状，对于一些形状也可以是割多填少的方式，通过测量每个划分出的小形状（如方形、梯形等）并汇总这些小形状的面积即可。自然，划分得越细，最后求和得出的数据与实际的面积越接近。

The End

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