三角形三边关系洋葱数学（三角形的三边关系）

大家好！我是小刘同学！今天继续分享一道关于三角形三边关系的题目。

请看题：已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且∣b c-2a∣ （b c-5）²=0，求b的取值范围。

求b的取值范围，关键是判断a，b，c中的最长边，依照a，c的大小关系为标准进行分类讨论。所以说，解该题的思路逻辑顺序就是先分别求出a，c两边的长度，最后再来推导b的取值范围。

即它的解题步骤分为三步：

第一步，求出a的长度。

其实完全可以沿着我上一次所分享题目里的思路，再去看待这道题。这同样是等于零的方程的第二种情况，零加零等于零，即该方程中的两个项都是零。我们根据∣b c-2a∣ （b c-5）²=0，可列出方程组为

b c-2a=0

｛ b c-5=0 ，

化成

b c=2a ①

｛ b c=5 ②，

使用代入消元法即是2a=b c=5，解得a=5/2。

第二步，用含b的式子表示c。

我们直接单独抽出第一步所列方程组中②部分 b c=5，可得c=5-b。第二步很直接、很简单地就完成了。

第三步，最关键的就在这里，要根据前两步的求解，利用三角形三边关系的知识点，求出答案。目前，三条边中a是已知的，而b，c是未知的，所以要拿两个未知的分别与已知的来进行比较。

这里就需要进行分类讨论——

首先，假设a是最长边。

我们根据第一步所列方程组中①部分b c=2a，两边之和等于第三边的2倍，这种情况只有在等边三角形中。我们假设等边三角形ABC的一条边长为2，所以它每一条边长都为2（AB=AC=BC=2），则任意两边之和为2 2=4（可假设是AB AC），那另一条边（BC）的2倍为2×2=4，这种情况就成立。

当c=a，即b=a时，a b>c，

代数转换成 当5-b=5/2，即b=5/2，a b>c，实为5/2 5/2>5/2，

所以b可取5/2。

其次，我们由第一步得出的结论2a=b c=5，可知a=1/2（b c）=5/2，就是说a恰好为b，c之和的一半，以a为中间参照数，则若b，c中如果有一条边比a长，那么另一条边必定要比a短。我们就又可以分成两种情况讨论了。

1）c是最长边，

当c>a，即b<a时，b a>c，

代数转换成 当5-b>5/2，即b<5/2，b a>c，实为b 5/2>5-b，所以移项化简可得b>5/4，

b的取值范围就是5/4<b<5/2；

2）b是最长边，

当c<a，即b>a时，c a>b，

代数转换成 当5-b<5/2，即b>5/2，c a>b，实为5-b 5/2>b，所以移项化简可得b<15/4，b的取值范围就是5/2<b<15/4。

综合以上全部三种情况，我们知道确定解集取值范围的办法是“同大取大、同小取小”，那么实际b的取值范围就是5/4<b<15/4。得出答案！

这道题作为引子，最后总结出两点：

1.要用代数思维取代算数思维。

小学数学都是板块状的，分成各个单元不相联系，你哪怕上一单元知识还未掌握，重新学的新单元知识也可以学得很好。但中学数学是一个前后联系、层层递进的知识系统体系，学习必须稳扎稳打、步步为营，否则后面你就越来越跟不上了。

这其中最关键原因，是小学数学运用的是算数思维，计算能力强的孩子就可以适应，而中学数学一步步培养的是代数思维，你要用代数理解世界的本质规律。

2.要掌握分类讨论思想这一重要的数学思想。

无图的题目一般都有多个解，必须区别出各类情况进行对比分析。

谢谢大家，下回再见！