方程和函数之间的联系（方程和函数思想的关系）

方程、函数这两个术语在中小学数学组十分常见，也是大多数孩子们最为头疼的两个词，不止一次的问自己：这两个到底是什么东东，它认识我，我不认识它。

王永春（课程教材研究所）

方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。

（1） 方程思想。

含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。如有些小学老师经常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已之与未知数的对立统一。

(2) 函数思想。

设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围b叫做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。这样的函数研究的是两个变量之间的关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际现实中变量的变化而相应变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学里不学习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2 h.半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的、普遍性的观点。

从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算数到方程。算术研究具体确定的常数以及他们之间的数量关系。方程研究确定的常数与未知的数量之间的关系。函数研究变量之间的数量关系。

方程和函数虽然都是表示数量关系的，但是他们有本质的区别。如二元一次的不定方程中的未知数往往是常量，而一次函数中的自变量和因变量一定是量变，因此二者有本质的不同。方程必须有未知数，未知数是常量，而且一定用等式的形式呈现，二者缺一不可，如2x-4=6。而函数至少要有两个变量，两个变量依据一定的法则相对应，呈现的形式可以有解析式、图像法和列表法等，如集合a为大小等于1、小于等于10的整数，集合b为小于20的正偶数。那么两个集合的数之间的对应关系可以用y=2x表示，还可以用如下的表格表示。

人们运用方程思想，一边关注的是通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求出方程的解，从而解决数学问题和实际问题。人们运用函数思想，一般更加关注数量之间的对应关系，通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题。方程中的未知数往往是静态的，而函数的变量则是动态的。方程已经有3000多年的历史，而函数概念的产生不过才300年。

（2） 方程和函数的关系。

（3）方程和函数虽然有本质的区别，但是他们同属代数领域，也有密切的关系。如二元一次不定方程ax by c=0和一次函数y=kx b，如果方程的解在实数范围内，函数的定义域和值域都是实数，那么方程ax by c=0和经过变换可转化为y=-a/bx-c/b,它们在直角坐标系里画出来的图像是一条直线。因此可以说一个一元一次方程对应一个一次函数.如果使一次函数y=kx b，中的函数植等于0,那么一次函数转化为kx b=0,这就是一元一次方程.因此,可以说求这个一元一次方程的解,实际上就是求使函数值伪的自变量的值,或者说求一次函数图象与X轴交点的横坐标的值.

一般地,就初等数学而言,如今令函数值为0,那么这个函数就转化为含有一个未知数的方程;求方程的解,就是求使函数值为0的自变量的值,或者说求函数图像与X轴交点的横坐标的值.

16世纪以前,人们主要是运用算术和方程方法解决现实生活中的各种实际问题,方程与算术相比,由于未知数参与了等量关系式的够建,更加便于人理解问题分析数量关系并够建模型,因而方程在解决以常量为主要的实际问题中发挥了重要作用 ,到了17世纪,随社会的发展,传统的研究常量的算术和方程已经不能解决以研究两个变量之间的关系为主的经济,科技军事等领域的重要问题,这时函数变产生了.函数为研究运动变化的数量之间的依存,对应关系和构建模型带来了方便,从而能够解决比较复杂的问题.

概括的说,方程和函数思想是中小学数学,尤其是中学数学的重要内容之一.方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面,发挥着重要的不可替代的作用.

小学数学在学习方程之前的问题,都通过算术方法解决,在引入方程之后,小学数学中比较复杂的有关数量关系的问题,都可以通过方程解决,方程思想是小学思想的重要思想,其中一元一次方程是小学数学的必学内容,在小学数学里没有学习函数的概念,但是有函数思想的渗透,与正比例函数和反比例函数最接近的正比例函数和反比例函数是小学数学的必学内容.另外,在小学数学的一些知识中也会渗透函数思想,如数与数的一一对应体现了函数思想.方程和函数是小学数学与初中数学衔接的纽带.

小学数学中方程和函数思想的应用如下表.

4方程和函数思想的教学.

方程和函数都是义务教育阶段重要的数学思想方法.用方程和函数表示数量关系和变化规律,不仅体现方程和函数的思想的价值.也有助于学生形成模型思想.根据课程标准的理念,方程和函数思想的教学应关注以下几点.

(1) 方程中的字X,Y等代表具体的未知的常数,即未知数,这是代数思想和方程思想的基础.

(2) 正比例关系和反比例关系等函数关系中的字母X,Y等代表的是变化的量,即变量,而且这两个量是相关联的量,一个量的变化,另一个量也会随着变化,这是函数思想的基础,要让学生体会它们的区别.

(3) 结合具体情境,通过分析数量关系来理解等量关系,并用方程表示等量关系,再通过解方程解决问题,从而认识方程的作用.

(4) 结合简单情境,认识成正比例的量或反比例的量,通过分析数量关系和变化规律建立比例关系式,再通过解比例解决问题.

(5) 能根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图,并根据其中一个量的值估计另一个量的值.

下面再结合案例谈谈方程和函数思想的教学

案例1:妈妈买了 3千克香蕉和2千克苹果,一共花了16元.苹果的价格是香蕉的两倍多1元,苹果和香蕉的单价各是多少?

分析：题目涉及的是商品的数量单价和总价的关系,