线与角的知识点整理图（面垂直的三角关系）

考纲原文

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理：

·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明：

·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

知识点详解

一、直线与平面垂直

1．定义

2．直线与平面垂直的判定定理

【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.

3．直线与平面垂直的性质定理

4．直线与平面所成的角

（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

5．常用结论（熟记）

（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．

（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

二、平面与平面垂直

1．定义

2．平面与平面垂直的判定定理

3．平面与平面垂直的性质定理

4．二面角

（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

（3）二面角的范围：[0,π]

5．常用结论（熟记）

（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．

（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

三、垂直问题的转化关系

考向分析

考向一 线面垂直的判定与性质

线面垂直问题的常见类型及解题策略：

(1)与命题真假判断有关的问题．

解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．

(2)证明直线和平面垂直的常用方法：

①线面垂直的定义；

②判定定理；

⑤面面垂直的性质．

(3)线面垂直的证明．

证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

(4)线面垂直的探索性问题．

①对命题条件的探索常采用以下三种方法：

a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

②对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.

考向二 面面垂直的判定与性质

判定面面垂直的常见策略：

(1)利用定义(直二面角)．

(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．

(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．

考向三 线面角与二面角

求直线与平面所成的角的方法：

(1)求直线和平面所成角的步骤：

①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

(2)求线面角的技巧：

在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．

求二面角大小的步骤：

简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．

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