元角分的课程（贞元课程〡角的度量）

本文作者：宋亚男 贞元教育小学数学卓越课程研发负责人

儿童较早地就接触“角”的概念，但是直到四年级，儿童的“角”的观念仍然是混沌的、模糊不清的。如，儿童已经知道“从一个点出发引出两条直直的线所构成的图形”叫作角，但是，一旦回到实际生活，“角”又会退化成为类似墙角、桌子角、老黄牛头上尖尖的角、三角板的一个角等一样的东西。

而有关锐角、直角和钝角的区别，四年级的儿童也几乎是基于视觉加以判断的。当他们说某个角是直角时，要么是目测的结果，要么仅仅是因为这个角就是某个正方形或长方形的一部分；直角并没有从实际背景中真正独立出来，它并不意味着一个角的两条边之间具有特殊的位置关系（垂直）。零度角、平角和周角，看上去都差不多，到底该如何清晰而准确地加以区分呢？

如何选择一个合适的基准去度量一个角的大小呢？虽然，角的两条边是射线，是不可以度量长短的，但正是因为这一特点，角反而可以精确地度量大小了，通过旋转变换可以更加清楚地明晰角的这一特征。儿童在此之前虽然已经学习了一维的长度和周长度量，以及二维的面积度量，但是看上去，这些度量方法却不能解决度量角的问题。

面临如此多的认知冲突，我们将如何结合儿童的认知发展特点，化解它们呢？其基本程序就是：浪漫——精确——综合……这是一个无限展开的认知循环。方、圆、角属于“角的度量”的浪漫阶段；角的动态定义、使用量角器度量已知角的大小、使用量角器画出已知角等属于“角的度量”的精确阶段；最后，综合实践活动与单元脑图制作和闯关挑战等都属于“角的度量”的综合阶段。接下来主要分享的是精确阶段的三个课时，看贞元教育是怎样做的。

角的动态定义

第一板块：自我挑战，遭遇问题

展示“课前挑战单”：

1.分别画出平角、零度角和周角，并列举它们的异同点。

2.从中午12点到下午3点，时针旋转而成的角是多少度？这里“时针旋转而成的角”与3点整时针和分针所组成的角有何相同点和不同点？

3.给出各式各样的角，请儿童进行分类。（其中给出两个有争议的角：一个比直角稍微大一点，另一个比直角稍微小一点）

4.请提出你感兴趣的新问题。

分析：

第1题，有少数学生依然认为平角就是一条直线，零度角就是一条射线，周角就是一个圆。部分学生清楚零度角与周角其实就是两条边重合在了一起，但无法清楚地说明两个角有什么区别。课堂将基于此展开对话，达成临时性共识：从静态的角度看，零度角与周角的两条边都是重合的。但是，如果从动态旋转的角度看，零度角是没有旋转的，而周角却整整旋转了一周，进而引入动态角的定义；

第3题，出现了近似于直角的“有争议的角”，仅仅靠视觉无法判断是否是直角，说明这样质性的对角进行分类是不够的，必须对角进行定量化测量。对于如何测量角的度数，学生们主要提出了以下三个观点：

（1）根据垂线段的长度表示角度的大小；

（2）规定一个角为测量基准，通过旋转变换来测量角度；

（3）统一测量基准，将一个圆周角平均分成360份，其中的一份为1度。

第二板块：聚焦问题，展开对话

师：这位同学是怎么想的？你认同吗？

学生语：我不认同，他认为平角就是一条直线。

学生舒：这就是平角呀，但他应该画一个弧度。（在大屏幕上进行了修改）

学生涵：我反对，一个角是由一个顶点、两条边组成的，这个平角的顶点呢？

学生泽：从一个点引出两条射线所组成的图形叫做角，应该这样修改。

学生瀚：我不认同泽的观点，我上台来演示一下吧。如果把这条边作为起始边，绕着这个顶点开始旋转，顺时针旋转一圈半停止，角的终边也落在了这个角的另一边上，难道这也是平角吗？

学生千：所以我们需要画出平角边的运动轨迹，表明它只是旋转了半圈。

师：平角是怎样形成的？

学生瀚：起始边绕着端点逆时针或顺时针方向旋转半圈所形成的角。（边说边用手中的笔比划）

师：平角有什么特点？

学生寒：平角的两条边在一条直线上。

师：你认同这位学生画的零度角吗？

学生语：它就是一条射线，怎么是零度角？

学生千：它就是零度角，因为它的两条射线重合在一起了。

师：从静态理解，零度角就是两条射线重合在一起了，还有其它的理解吗？

学生含：零度角就是一条起始边还没旋转就停止了，也就是起始边与终边重合了。

师：有位同学说，零度角为什么是角呢？谁能帮他解答疑问。

学生润反问道：从静态上看它符合角的特征吗？

学生千：符合，它也有一个顶点，两条边，不过两条边重合在一起了。

学生润：对呀，既然符合角的特征，那零度角就是角呀。

（学生动态演示，再次体会平角与零度角，感知静态角与动态角，修改挑战单）

师：你们认同这三位学生画的周角吗？

学生泽：周角是一条射线绕着它的端点旋转一圈形成的角，但是他怎么画了一个圆形？

学生普：他认为周角就是个圆圈，圆圈不是角，因为它没有射线。

学生涵：其实他画的是一条射线旋转一周后的运动轨迹。

（伴随老师动作演示，学生逐渐明白：周角是从起始边绕着端点旋转一圈又回到原来的位置）

师：你认同他的观点吗？

学生舒：不认同，他没有标注旋转角度，根本分不清周角和零度角。（学生旭上台修改）

师：有人提出了这样的新问题：周角与零度角一样吗？

学生星：周角不是零度角，它们虽然都是角，但大小不同，周角是360°，零度角是0°

学生泽：不一样，周角是一条射线旋转了一圈，而零度角没有旋转就停止了。

师：这个是千同学的观点：周角和零度角的两条射线重合在一起。你们认同吗？

学生语：认同，周角和零度角的两条射线都重合在一起了。

师：这是瀚同学的问题，有同学帮他解答吗？

学生翔：图中画的当然是钝角。

学生千：不对，他想表达的是，这条射线绕着端点顺时针旋转形成的角，这个角不是钝角，如果是逆时针旋转形成的角才是钝角。

学生羽：对，明显这个角的度数是大于180°的，而钝角是大于90°小于180°。

学生涵：它不是钝角，是优角。

师：对的，我们把大于180°小于360°的角称为优角，不过暂时我们先不研究这类角。

师：言同学昨天问我有没有比周角还大的角，谁来帮我回答？

学生睿：这是锐角吗？（上台演示，画了个动态角并问道）

学生星：不是。它是旋转一圈后继续旋转了一点点形成的角。

学生瀚：我也可以举好多比周角大的角，比如，一条射线绕着它的端点旋转两圈，三圈……后停止，形成的角就比周角大。

（老师对涵、言、瀚三位同学提出的新问题，给予了极大地肯定，并鼓励更多的学生提出有价值的新问题，这些问题可以让我们的课堂变得更加好玩有趣）

师：时针从12点旋转到3点形成的角是什么角？

生：直角。

师：3点时，时针与分针构成了什么角？

生：也构成了直角。

师：这两个角有什么相同之处？

生：都是直角，大小是90°。

师：有什么不同之处？

学生泽：12点到3点是时针动态旋转形成的直角。而3点，时针与分针所形成的角是静态的两条射线所组成的直角。

（给出各式各样的角，请学生进行分类，其中出现了几个有争议的角：有比直角稍微大一点的角，有比直角稍微小一点的角。如何来确定他们的大小呢？孩子们遇到了角的度量问题。此时，有人认为可以用三角板的直角比一比或用量角器量一量，还有人提出了新的看法）

师：怎样来度量角的大小呢？你认同这位同学的想法吗？

学生泽：我不认同，用直尺测量角的开口大小时，直尺放的位置不一样，测的结果就不一样了。

学生言：对的，比如直尺往里偏一些时，测的那条线段就短，越往外测的线段就越长。

学生普：我反对你们的看法，我们可以选定一个点，然后向另一条边做垂线。

学生瀚：也就是说，测量所有角都从相同的点开始向下做垂线。这个点可以是离顶点1厘米的位置，当然也可以是2厘米的位置，但每次测量时必须是一样。

师：你认同用这种方法来度量角吗？比方说这条垂线段长度是2厘米，角的大小就是2。

（大部分学生表示认同，但也有学生表示怀疑）

师：用线段的长度来表示角的度数好不好？

学生星：好像也不合理，线是一维的，但角不是呀，它们的单位肯定不一样呀。

学生语：平角就无法用这种方法测量，没法做垂线段。

（其他同学恍然大悟，测量锐角的话，可以用长度来刻画谁大谁小，但是用一维的长度表示角的大小总觉得不合理。同时钝角、周角、平角、优角都没办法用长度来测量）

第三板块：基于共识，拓展延伸

师：看羽同学是如何想的？

学生程：他把这个小一点的角作为测量基准进行测量的，看有几个这样的基准，就是几度。

学生瀚：哦，我明白了，先定一个角为基准，然后看被测量的角有几个这样的基准就可以了。

学生言：假如以直角为测量基准的话，直角就是1，平角就是2，周角就是4。

学生泽：如果以平角为测量基准的话，周角是2。

（学生们分别以直角、平角，任意角为基准，进行测量）

学生千：测量基准不同的时候，角的度数就不一样了。

学生语：那就统一测量基准。

师：那我们统一用哪个角为测量基准呢？

（瀚同学与大家分享了关于“神奇的360°”的故事：古代天文学家估计出一年大概有360天，周角是旋转一周所形成的角，就与地球绕着太阳旋转一圈是一年一模一样。所以就把圆周角命名为360°。将圆周角平均分成360份，每份就是1°，我们可以拿这个1°角去测量其它的角）

学生舒：但是拿一个1°角去测量会不会太麻烦了？我需要不断地做标记。

学生润：我们可以把180个1°角都刻下来，放在一起，就变成了我们手中的量角器。

学生涵：把360个1°角放在一起，就变成了一个圆形的量角器。

学生旭：为什么我们手中的量角器只是一个半圆形，而不用一个圆形呢？

学生星：那样太麻烦了，后面就多余了，做成半圆形更节省材料。

师：如果是为了节省材料，我们为什么不把量角器做成直角呢？

学生普：如果把量角器做成直角，那么它只能测量锐角和直角，钝角就没办法测量了。

学生涵：我不认同，钝角也可以测量，我们可以把这个钝角分成一个直角和一个锐角，只测量锐角的度数，再加90°就可以了。

生：哦，对，这样也可以，但是会有点麻烦。

师：请问，把量角器做成半圆形可以吗？

（所有学生拿出了自己的量角器开始观察，锐角和钝角都可以测出来。平角、周角和零度角也可以。这个时候寒同学认为优角无法测量）

学生语：优角也可以被测量出来，比如这个优角，可以把这个优角的一边延长，只要测量出右上这个锐角的度数，再加上180°就可以了。

学生涵：我们只测这个钝角，然后用360°减去这个钝角度数也可以。

师：看来我们可以把优角的度量问题转化成锐角或钝角的度量，所以我们手中的量角器能满足吗？

生：完全可以满足。

（接下来请同学们仔细观察了手中的量角器，更精确地认识了量角器的0刻度线，中心点，刻度……）

使用量角器度量给定角的大小

第一板块：自我挑战，遭遇问题

展示“课前挑战单”：

1.请使用量角器度量以下角的度数，并在完成度量任务之后思考：使用量角器的注意事项有哪些？

2.请提出你感兴趣的新问题。

分析：上节课分别从静态和动态两个方面认识了角，这节课将聚焦用量角器度量角。从这张挑战单中可以看出，大部分学生可以意识到先规定一条起始边，然后让起始边与0°刻度线重合，最后看终边对准的刻度即可，但几位学生认为角的顶点应该与0°刻度线的数字“0”对准，如：

部分学生在读数的时候，不知道该读内圈的度数，还是外圈的度数，如：

第二板块：聚焦问题，展开对话

师：你是否认同这位同学的想法：

先把这个角的起始边对准0刻度线，然后看终边对准几就是几度。

学生程：我认同他的观点，我们要想测量一个角的度数，首先要把这个角的一条边对准0°刻度线，然后看角的另一条边对准哪个刻度便可。

学生宁：量角器上有两圈刻度呢，到底看哪一个刻度？

（老师请一位昨天挑战单出错的学生示范如何测量）

学生程：我不认同，角的顶点要与量角器的“中心点”对齐。

（泽认同程的观点，并跑到大屏幕前演示）

生：对的，角的顶点要与量角器的中心点对齐。

师：顶点为什么要放到量角器的中心点呢？

学生润：昨天我们这样制作量角器：先定了一个1°的角为基准，为了方便测量，就把180个1°角拼在了一起。拼的时候，所有角的顶点都在这个中心点上，测量的时候，角的顶点必须要与量角器的中心点重合。

学生星：我们手中的量角器是由两个直角合起来的，两个直角的顶点重合在一起，就是量角器的中心点。

学生瀚：0°刻度表示的是0°，也就是角的始边与终边对准的位置，而不是顶点应该对准的位置。

学生涵：对的，量角器上的度数是角的开口大小，怎能把角的顶点放到刻度上呢？

师：谁能从动态的角度解释，量角器上的0°刻度线是什么意思？

学生茜：角的起始边。

（老师板演，一条射线绕着其端点不断旋转，由0°到180°，让学生感受0°刻度线其实就是始边的位置，终边对准的刻度即角的度数。而在这个过程中，角的顶点是不动的，就像量角器的中心点）

师：你认同这位同学的观点吗？

中点对准顶点，看看量角器的线条和它的射线如何对准，比如说，第一个角对准了30度和40度之间，所以就是35度。

学生含：我认同他的观点，他强调了角的顶点必须对准量角器的中心点。

学生瀚：还需要说明一点，始边必须对准0°刻度线。

学生寒：不对，始边并非一定要对准0°刻度线，如下图这样也可以测量出这个角的度数。假如我们需要测量∠AOB的度数，可以先读出∠AOC的度数是70°，∠BOC的度数是35°，那么∠AOB=∠AOC -∠BOC =70°-35°=35°。

学生千：我还有新的方法，以35°刻度的那条边为始边，逆时针旋转：5°、10°、15°……35°，读取始边与终边之间的夹角就可以了。

学生语：但我还是认为需要将起始边对准0°刻度线，这样直接看终边对准的刻度就可以了。

师：语说得很有道理，为快速读取角的读数，我们确实需要将角的起始边对准0°刻度线。下面这位同学的说法你认同吗？

中心点与角的顶点重合，始边与0刻度线重合，看终边对准几就是几度。

学生羽：不认同，到底是看外圈还是内圈的度数呀？比如，这个角的终边对准了35°和145°，这个角到底是多少度呢？

学生含：应该是35°，我们应该看内圈的刻度。

师：为什么要看内圈的度数？

学生泽：因为起始边与右边的0°刻度线重合，终边沿着逆时针方向旋转，角的度数应该逐渐增加而不是减小，所以要看内圈的刻度。

师：你认同这位同学的测量结果吗？

学生普：我不认同，第一个角是锐角，它应该小于90°。而第二个角是钝角，它应该大于90°。

学生程：他肯定是看错内圈和外圈的刻度了。

师：再分享一位学生的观点，你认同吗？

先看这个角是哪一边开口，右边开口从内圈量，左边开口从外圈量，然后开始测量开口度数大小。

学生涵：我明白他为什么这样想，因为当角的开口朝向右边的时候，他把下面的边作为起始边，所以读数的时候需要看内圈的刻度。

当角的开口朝向左边的时候，他把下面的边作为起始边，所以读数的时候需要看外圈的刻度。

学生瀚：我不认同这样的想法，比如，当开口朝向右边的时候，我们不仅可以把角的下面的边作为起始边，也可以将角的上面的边作为起始边，那样就需要看外圈的刻度。

师：看来决定读内圈还是外圈度数的关键点是起始边的选择。

（在老师的引导下，学生开始用不同的边作为起始边测量角的度数）

第三板块：基于共识，拓展延伸

师：这位同学说：角的度数能不能用算式算出来？他想问的是什么呢？

学生千：我们可以用量角器测量角的度数，那角的度数可以计算出来吗？

学生羽：可以，在一个直角三角形中，只要知道一个角的度数，就可以求出来另一个角的度数。例如在直角三角形中，一个锐角是40°，另一个角就是180°-90°-40°=50°。

师：你们已经已经能够利用三角形的内角和是180°来解决问题，太厉害了。那么下面这道题在不测量的情况下，能得出这个角的度数吗？

学生涵：可以，因为3点整的时候是90°，把90°平均分成3份，其中的一份就是30°。

（接下来，针对下面两道题进行了练习，课堂对话略）

使用量角器画已知角

第一板块：自我挑战，遭遇问题

展示“课前挑战单”：

1.请量出下面几个角的度数。

2.请你分别画出30°、45°、60°、75°、105°、165°的角，并用文字语言简单说明如何画角？

3.利用常见的三角板，在不使用量角器的情况下，可以画出哪些度数的角？

4.请提出你感兴趣的新问题。

分析：从学生的课前挑战单中可以看出，学生们的角观念建构得很好，几乎所有的学生都能用自己的方法画出规定度数的角。因此，本节课将由学生当小老师，讲解如何画角。讲完后，其他同学点评，认同说明原因，不认同也说明理由。通过这样的课堂对话，最终达成临时性共识。

第二板块：聚焦问题，展开对话

（以下是几位同学讲述如何画30°角的过程对话记录）

学生寒：首先把量角器放平，在0°和30°的地方各点一个点，然后连接成角就可以了。

（寒同学的观点立刻遭到了质疑，过这两个点可以画好多角，怎么确定这个角就是30°呢？）

寒同学立刻修正了自己的观点：哦，不好意思，我刚刚可能没有描述清楚，我的意思是在0°与30°的地方，分别用直尺画两条刻度线的延长线，最后交于一点就形成一个30°的角。

这时，涵同学激动地说：对的，这样就可以了，这个角就唯一确定了。

（学生涵跑到讲台前给大家演示）

师：为什么刚刚只有两个点的时候就不能确定唯一的那个角呢？

学生润：因为过一个点可以画出好多好多的射线，到底哪条射线是30°角的边呢？

师：这个解释太棒了，确实如此。哦，对了，寒同学改进后的方案可行吗？

学生星：可行，因为这样就把角的两条边的位置确定了。

生：但是这样画角太麻烦了，而且不精准。

师：不精准是什么意思？

学生旭：水平的那条直线容易画，但斜着的那条直线就不容易了。

学生寒反驳道：你可以同时用三角尺画呀。

学生泽：既要用量角器，还要用三角尺，画的时候，特别容易移动。

学生言：我有一种新的方法，不过最好是一个透明的量角器，先把角的顶点画出来，然后把角的顶点与量角器的中心点重合，在量角器的0°与30°刻度线的地方分别画一个点，然后把这三个点连接起来。

学生普：我反对，角的两条边是射线，你这样就变成两条线段了。

学生涵：我反对普同学的观念，不是你想的那样，那个点不是线段的端点，这个点只是为了确定射线的位置而已。

学生星：这种方法与刚刚寒同学的方法好像呀。

师：对呀，为什么刚刚只有两个点（刻度线上的点）时就不可以，增加一个中心点就可以了？

学生羽：因为中心点和这两个点可以分别确定角的两条边的位置。

师：也就是过两个点可以画出几条射线？

生：只能画出一条射线。

师：过一个点呢？

生：无数条。

学生言：这与我们昨天做的两个填空题一样，过一个点可以画无数条直线，过两个点有且只有一条直线。

学生润：我可以用三角尺直接画出来。（板演）

学生睿：我不认同，为什么呀？

学生宁：因为这个角就是30°。

（其他学生立刻开始验证）

生：哦，这个角确实是30°，可以直接用这个角画30°的角。

学生含：但是，用三角尺画的角是有限的，不是所有的角都可以画出来。

师：确实是这样的，那还有其它的方法吗？

学生睿：我先画一条射线，然后将量角器的中心点与射线的端点重合，0°刻度线与射线所在的位置重合，在量角器30°刻度线的地方点一个点，再连接端点与这个点就可以了。

学生语：先画的射线其实就是角的起始边，再找到终边上的一点就可以了。

师：“再连接端点与这个点就可以了”这句话准确吗？

学生星：不准确，会让别人误认为是一条线段。

师：对的，我们可以说以射线的端点为端点，通过刚刚我们找到的这个点，画一条射线。接下来请同学们将剩下的几个角一一画出来，同桌之间互相用文字语言描述你是如何画的。

第三板块：基于共识，拓展延伸

接下来讨论了利用常见的三角板，在不使用量角器的情况下，可以画出哪些度数的角？具体对话略。

师：谁能帮助这位同学解答疑惑？

用直尺可以量出度数吗？

学生瀚：可以用直尺画出直角。

学生千：平角，也可以是270°的优角。

师：这位同学的问题呢？

如果在3度和4度之间怎么办？

学生言：那就发明更小的度量单位。

学生含：也可以用小数表示，如果是3与4的正中间，那就是3.5°。

学生泽：如果不是正中间，那可能就是3.1°、3.2°、3.3°……

学生言：也就是将1°平均分成10份，每份是0.1°。

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