偶函数和奇函数的知识点（你知道怎么把fx）

把f(x)=e^x拆成一个偶函数和一个奇函数的差，是高中数学的一个常规操作，如果不懂，就会在解决一些问题造成困难，因此必须要掌握。接下来这道题目，就会运用到这个知识，我们在题目的分析过程中来解决这个问题。

设f(x)=e^x, f(x)=g(x)-h(x), 且g(x)为偶函数, h(x)为奇函数, 若存在实数m, 当x∈[-1,1]时, 不等式mg(x) h(x)≥0成立, 求m的最小值.

分析：第一步我们要知道g(x)和h(x)的解析式分别是什么，否则就解决不了。我们可以利用g(x)和h(x)的奇偶性，求f(-x)关于g和h的表达式，得到g(x) h(x)=e^(-x), 这就与f(x)=g(x)-h(x)=e^x形成了一个关于g和h的类似二元一次方程。把g(x),和h(x)看作两个未知数，而e^(-x)和e^x看作两个参数。

解这个类二元一次方程，可以将两个类方程相加，得到2g(x)=e^(-x) e^x，将两个类方程相减，得到2h(x)=e^(-x) e^x，从而得到g(x)和h(x)的解析式。这就实现了把f(x)=e^x拆成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)的差。当然，也可以说是一个偶函数(x)和一个奇函数-h(x)的和。

再把g(x)和h(x)的解析式代入不等式mg(x) h(x)≥0，通过变形，可以得到m≥-h(x)/g(x)，因此问题就转化成了要求-h(x)/g(x)的最大值。当参数m大于等于一个变量或函数时，要求m的最小值，其实就是要求这个变量或函数的最大值。

接下来组织解题过程：

解：依题意, f(-x)=g(-x)-h(-x)=g(x) h(x)=e^(-x), 又f(x)=g(x)-h(x)=e^x，

∴g(x)=(e^(-x) e^x)/2>0, h(x)=(e^(-x)-e^x)/2,

m≥-h(x)/g(x)=(e^x-e^(-x))/(e^x e^(-x))=(e^(2x)-1)/(e^(2x) 1)=1-2/(e^(2x) 1),

∵y=1-2/(e^(2x) 1)是增函数，

∴当x∈[-1,1]时, y=(e^2-1)/(e^2 1)最大.

∴m=(e^2-1)/(e^2 1)最小.

希望你能喜欢这道题！

更多相关：

你知道如何将e^x拆成一个偶函数和一个奇函数的和吗？

高中数学函数性质问题，方法用得好也不难，否则就很烧脑

动点问题结合圆，矩形，勾股定理，相似三角形等的综合性中考真题