高数函数极限与连续知识点与例题（数学笔记-同济第七版高数）

本节针对闭区间连续函数的性质，接下来我们就来聊聊关于高数函数极限与连续知识点与例题?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

高数函数极限与连续知识点与例题

本节针对闭区间连续函数的性质

若 f(x)∈c[a,b], 则f(x)在[a,b]区间内必存在最小值m和最大值M。

若 f(x)∈c[a,b], 则必定存在N=max{|m|,|M|}，使得f(x)在[a,b]区间内|f(x)|<N

若 f(x)∈c[a,b],且f(a)f(b)<0，则必有c∈(a,b)，使得f(x)=0

例1：证明方程 x^5-5x 1=0有一正根

令f(x)=x^5-5x 1 f(x)∈c[0,1]

f(0)=1, f(1)=-3

所以f(0)f(1)<0

由零点定理知必存在c∈(0,1)使得f(c)=0

即方程 x^5-5x 1=0有一正根，并且该正根在[0,1]内

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例2：f(x)∈c[0,1], f(0)=0, f(1)=1, 证：存在c∈[0,1]使得f(c)=2/3

令g(x)=f(x)-2/3

g(x)∈c[0,1], g(0)=-2/3, g(1)=1/3

所以g(0)g(1)<0

所以存在c∈[0,1]使得g(c)=0

即f(c)=g(c) 2/3=2/3

所以存在c∈[0,1]使得f(c)=2/3

四、介值定理

若 f(x)∈c[a,b], 则对于所有的η∈[m,M], 存在ξ∈[a,b]， 使得f(ξ)=η

证明方法类似于例2.

五、Notes

1、f(x)∈c[a,b]，存在c∈(a,b)，应该用零点定理

2、f(x)∈c[a,b]，存在c∈[a,b]，且有函数值之和的，用介值定理

3、可以理解为开区间用零点定理，闭区间用介值定理

例3：f(x)∈c[a,b], p>0,q>0, p q=1

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