一道有趣的美国数学竞赛题（一道高难度美国数学竞赛题）

大家好！本文和大家分享一道高难度美国数学竞赛题：已知a^3 b^3 3ab=1，求a b的值。这道题的难度确实非常大，据说正确率不到1％，甚至很多学霸看到题后也是束手无策。接下来我们一起来看一下这道难倒众多学霸的竞赛题。

下面介绍3种解法。

解法一：因式分解

要求a b的值，那么需要将题目给出的关系式进行因式分解，得到a b这个整体或者分别求出a和b的值。

怎么对这个关系式进行因式分解呢？

关系式中出现了两个数的立方和，所以考虑用立方和公式进行分解。

立方和公式：a^3 b^3=(a b)(a^2-ab b^2)。

接下来的分解是个难点，也就是如何将ab进行分解呢？

用立方和公式分解后，出现了a b的形式，那么可以考虑(a b)^2，这样就会出现ab的形式。所以要在后面添项，即先加上a^2和b^2，再减去a^2和b^2。然后再分组进行因式分解，分解的结果见下图：

分解到这一步后，接下来就需要分类讨论。

①a b-1=0，也就是a b=1。

②a^2-ab b^2 a b 1=0时，两边同时乘以2，再分组：a^2-2ab b^3 a^2 2a 1 b^2 2b 1=0，即：

(a b)^2 (a 1)^2 (b 1)^2=0。

实数范围内，完全平方是非负数，3个非负数相加为0，则每个部分都为0，这样就可以解出a和b的值，从而求出a b。

完整过程如下：

解法二：换元法

这道题用因式分解的难度是非常大的，很难想到对3ab的处理方法，那么下面介绍一个不需要因式分解的方法：换元法。

令a b=t，则a=t-b，代入原方程，用完全立方的公式将(t-b)^3展开，再确定b为主元，t为参数，化简后就可以得到关于b的一个一元二次方程：

(t-1)(3b^2-3tb t^2 t 1)=0。

明显地，接下来需要进行分类讨论。

t-1=0很简单，就不多说了，关键是看第二种情况。

第二种情况就是关于b的一元二次方程，△=9t^2-12t^2-12t-12=-3(t 2)^2≤0。又因为原方程有解，则关于b的这个一元二次方程有实数解，即判别式为非负数，综上△=0，即a b=-2。

解法三：恒等式

先看一个三元三次的恒等式：

a^3 b^3 c^3-3abc=(a b c)(a^2 b^2 c^2-ac-ab-bc)。

在上面这个恒等式中，当c=-1时，就得到了题目中的方程，所以题干方程移项后可以利用这个恒等式快速进行因式分解，减小了因式分解的难度。后面的算法与解法一相同。

解法三是对解法一的优化，但是需要知道这个恒等关系才会做，解法二应该是最容易想到的方法。对于这道正确率不到1％的美国竞赛题，你还有什么简便方法吗？